Номер 1.26, страница 8 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.26, страница 8.

Условие.

1.26. В последнюю секунду свободного падения тело прошло половину своего пути. С какой высоты $\text{H}$ и какое время $\text{t}$ падало тело?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Свободное падение, начальная скорость $v_0 = 0$.
Промежуток времени в конце падения $\Delta t_{посл} = 1$ с.
Путь, пройденный за этот промежуток времени $\Delta H = H/2$, где $\text{H}$ - полная высота.
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с$^2$.

Найти:

$\text{H}$ - ?
$\text{t}$ - ?

Решение:

Пусть $\text{t}$ - это общее время падения тела с высоты $\text{H}$. Путь, пройденный телом за время $\text{t}$ при свободном падении без начальной скорости, определяется формулой:
$H = \frac{gt^2}{2}$ (1)

Согласно условию задачи, за последнюю секунду падения тело прошло половину всего пути ($H/2$). Это означает, что за время $t_1 = t - 1$ с (то есть, за все время падения, кроме последней секунды) тело прошло первую половину пути, то есть путь $H_1 = H - H/2 = H/2$.

Запишем формулу для пути $H_1$, пройденного за время $t_1$:
$H_1 = \frac{g(t-1)^2}{2}$ (2)

Так как $H_1 = H/2$, мы можем приравнять выражение (2) к половине выражения (1):
$\frac{g(t-1)^2}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{gt^2}{2} \right)$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $g/2$:
$(t-1)^2 = \frac{t^2}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно $\text{t}$. Умножим обе части на 2 и раскроем скобки:
$2(t-1)^2 = t^2$
$2(t^2 - 2t + 1) = t^2$
$2t^2 - 4t + 2 = t^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $at^2 + bt + c = 0$:
$t^2 - 4t + 2 = 0$

Решим это уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения: $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
Здесь $a=1$, $b=-4$, $c=2$.
$t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2}$
Поскольку $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$, получаем:
$t = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

У нас есть два математических решения для времени:
$t_1 = 2 + \sqrt{2} \approx 2 + 1.41 = 3.41$ с
$t_2 = 2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.41 = 0.59$ с

По условию задачи, речь идет о "последней секунде" падения, что подразумевает, что общее время падения $\text{t}$ должно быть больше 1 секунды. Корень $t_2 \approx 0.59$ с меньше 1, поэтому он не имеет физического смысла в данном контексте. Следовательно, правильным решением является $t_1$.
Полное время падения тела: $t = 2 + \sqrt{2}$ с.

Теперь, зная время падения $\text{t}$, мы можем найти высоту $\text{H}$ по формуле (1):
$H = \frac{g t^2}{2} = \frac{g(2 + \sqrt{2})^2}{2}$
Раскроем квадрат суммы: $(2 + \sqrt{2})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 6 + 4\sqrt{2}$.
$H = \frac{g(6 + 4\sqrt{2})}{2} = g(3 + 2\sqrt{2})$

Теперь вычислим численные значения, приняв $g \approx 9.8$ м/с$^2$:
$t = 2 + \sqrt{2} \approx 3.41$ с
$H = 9.8 \cdot (3 + 2\sqrt{2}) \approx 9.8 \cdot (3 + 2 \cdot 1.414) = 9.8 \cdot 5.828 \approx 57.1$ м

Ответ: время падения $t = (2 + \sqrt{2}) \text{ с} \approx 3.41 \text{ с}$, высота, с которой падало тело, $H = g(3 + 2\sqrt{2}) \text{ м} \approx 57.1 \text{ м}$ (при $g=9.8$ м/с$^2$).