Номер 1.18, страница 7 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.18, страница 7.

Условие.

1.18**. Человек находится на берегу озера в точке A и хочет в кратчайшее время попасть в точку B, находящуюся на озере (см. рисунок). Скорость движения человека в воде $v_1$, а по берегу $v_2$. По какой траектории следует двигаться человеку, если $v_2 > v_1$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Скорость движения в воде: $v_1$

Скорость движения по берегу: $v_2$

Условие: $v_2 > v_1$

Расстояние по берегу от проекции точки B: $AC = s$

Расстояние от берега до точки B: $BC = d$

Найти:

Траекторию движения человека из точки A в точку B за кратчайшее время.

Решение:

Для того чтобы добраться из точки А в точку В за кратчайшее время, человек должен сначала пробежать некоторое расстояние по берегу, а затем плыть. Обозначим точку входа в воду на берегу как D. Пусть расстояние, которое человек пробежит по берегу, равно $AD = x$. Берег представляет собой прямую линию.

Тогда общее время движения $\text{T}$ будет суммой времени движения по берегу ($t_2$) и времени движения по воде ($t_1$).

Время движения по берегу от A до D:

$t_2 = \frac{AD}{v_2} = \frac{x}{v_2}$

После пробежки человек окажется в точке D. Расстояние от точки D до точки C (проекции точки B на берег) будет равно $s - x$. Расстояние, которое нужно проплыть от D до B, найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника DCB:

$DB = \sqrt{(DC)^2 + (CB)^2} = \sqrt{(s-x)^2 + d^2}$

Время движения по воде от D до B:

$t_1 = \frac{DB}{v_1} = \frac{\sqrt{(s-x)^2 + d^2}}{v_1}$

Суммарное время движения как функция от $\text{x}$:

$T(x) = t_2 + t_1 = \frac{x}{v_2} + \frac{\sqrt{(s-x)^2 + d^2}}{v_1}$

Чтобы найти кратчайшее время, нужно найти минимум функции $T(x)$. Для этого возьмем производную $T(x)$ по $\text{x}$ и приравняем ее к нулю. Отметим, что физически осмысленное значение $\text{x}$ лежит в диапазоне $[0, s]$.

$\frac{dT}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{v_2} + \frac{\sqrt{(s-x)^2 + d^2}}{v_1} \right) = \frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{(s-x)^2 + d^2}} \cdot (2(s-x) \cdot (-1))$

$\frac{dT}{dx} = \frac{1}{v_2} - \frac{s-x}{v_1\sqrt{(s-x)^2 + d^2}}$

Приравняем производную к нулю для нахождения экстремума:

$\frac{1}{v_2} = \frac{s-x}{v_1\sqrt{(s-x)^2 + d^2}}$

Введем угол $\alpha$ между направлением пловца (отрезок DB) и перпендикуляром к берегу (отрезок BC). Из треугольника DCB видно, что:

$\sin\alpha = \frac{DC}{DB} = \frac{s-x}{\sqrt{(s-x)^2 + d^2}}$

Тогда условие минимума времени принимает вид, аналогичный закону Снеллиуса для преломления света:

$\frac{1}{v_2} = \frac{\sin\alpha}{v_1} \implies \sin\alpha = \frac{v_1}{v_2}$

Поскольку по условию $v_2 > v_1$, то $v_1/v_2 < 1$, и всегда существует такой угол $\alpha_c$ (критический угол), что $\sin\alpha_c = v_1/v_2$. Оптимальная траектория пловца должна составлять с нормалью к берегу именно этот угол.

Теперь определим положение точки D (то есть значение $\text{x}$), при котором это условие выполняется. Выразим $s-x$ из полученного соотношения:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{s-x}{\sqrt{(s-x)^2 + d^2}}$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{(s-x)^2}{(s-x)^2 + d^2}$

$v_1^2((s-x)^2 + d^2) = v_2^2(s-x)^2$

$v_1^2(s-x)^2 + v_1^2d^2 = v_2^2(s-x)^2$

$v_1^2d^2 = (v_2^2 - v_1^2)(s-x)^2$

$(s-x)^2 = \frac{v_1^2d^2}{v_2^2 - v_1^2}$

Так как $s-x$ (расстояние DC) должно быть положительным, извлекаем корень:

$s-x = \frac{v_1d}{\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}$

Отсюда находим расстояние $\text{x}$, которое нужно пробежать по берегу:

$x = s - \frac{v_1d}{\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}$

Это решение имеет физический смысл, только если $x \ge 0$, то есть человек начинает плыть из точки, находящейся на отрезке AC.

$s - \frac{v_1d}{\sqrt{v_2^2 - v_1^2}} \ge 0 \implies s \ge \frac{v_1d}{\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $s \ge \frac{v_1d}{\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}$

В этом случае точка D, в которой человек входит в воду, находится на отрезке AC (или в точке A). Оптимальная траектория состоит из двух отрезков:
1. Пробежать по берегу от A до точки D, на расстояние $AD = x = s - \frac{v_1d}{\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}$.
2. Плыть по прямой от точки D до точки B. При этом угол $\alpha$ между траекторией DB и перпендикуляром BC удовлетворяет условию $\sin\alpha = v_1/v_2$.

Случай 2: $s < \frac{v_1d}{\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}$

В этом случае вычисленное значение $\text{x}$ отрицательно, что не имеет физического смысла (нельзя пробежать отрицательное расстояние). Это означает, что точка минимума функции $T(x)$ находится вне допустимого интервала $x \in [0, s]$.Проанализируем поведение производной $\frac{dT}{dx}$ на этом интервале. Вторая производная $\frac{d^2T}{dx^2} = \frac{d^2}{v_1((s-x)^2 + d^2)^{3/2}}$ всегда положительна, значит функция $T(x)$ является выпуклой, а ее производная $\frac{dT}{dx}$ — возрастающей функцией.Если точка минимума $x_{min} < 0$, то для всех $x \ge 0$ производная будет положительна: $\frac{dT}{dx} > 0$. Это значит, что функция $T(x)$ возрастает на всем интервале $[0, s]$. Следовательно, наименьшее значение времени будет достигнуто при наименьшем возможном значении $\text{x}$, то есть при $x=0$.

При $x=0$ человек должен начать плыть сразу из точки A. Оптимальная траектория — это прямой отрезок AB.

Ответ:

Оптимальная траектория зависит от соотношения между параметрами задачи.
1. Если выполняется условие $s \ge \frac{v_1d}{\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}$, то человеку следует сначала пробежать по берегу от точки A до точки D, находящейся на расстоянии $x = s - \frac{v_1d}{\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}$ от A, а затем плыть по прямой от D до B.
2. Если выполняется условие $s < \frac{v_1d}{\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}$, то человеку следует плыть из точки A в точку B по прямой, не пробегая никакого расстояния по берегу.