Номер 1.14, страница 7 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.14, страница 7.

Условие.

1.14**. Между пунктами $\text{A}$ и $\text{B}$, находящимися на противоположных берегах реки, курсирует катер. При этом он все время находится на прямой $\text{AB}$ (см. рисунок). Точки $\text{A}$ и $\text{B}$ находятся на расстоянии $s = 1200\text{ м}$ друг от друга. Скорость течения реки $u = 1,9\text{ м/с}$. Прямая $\text{AB}$ составляет с направлением течения реки угол $\alpha = 60^{\circ}$. С какой скоростью $\text{v}$ относительно воды и под какими углами $\beta_1$ и $\beta_2$ к прямой $\text{AB}$ должен двигаться катер в обе стороны, чтобы пройти из $\text{A}$ в $\text{B}$ и обратно за время $t = 5\text{ мин}$?

Решение.

Решение 2.

Дано

$s = 1200$ м

$u = 1,9$ м/с

$\alpha = 60^\circ$

$t = 5$ мин

Перевод в СИ:

$t = 5 \cdot 60 = 300$ с

Найти:

$\text{v}$ - ?

$\beta_1$ - ?

$\beta_2$ - ?

Решение

Скорость катера относительно берега $\vec{v}_{отн}$ является векторной суммой скорости катера относительно воды $\vec{v}$ и скорости течения реки $\vec{u}$:

$\vec{v}_{отн} = \vec{v} + \vec{u}$

Чтобы катер двигался строго по прямой $\text{AB}$, вектор его скорости относительно воды $\vec{v}$ должен быть направлен под таким углом к линии $\text{AB}$, чтобы скомпенсировать снос течением. Пусть $\beta$ - это угол между вектором скорости катера относительно воды $\vec{v}$ и линией $\text{AB}$.

Рассмотрим движение из A в B. Относительная скорость катера $\vec{v}_{отн1}$ направлена вдоль $\text{AB}$. Из векторного треугольника скоростей, спроецировав векторы на ось, перпендикулярную $\text{AB}$, получим условие компенсации сноса:

$v \sin(\beta_1) = u \sin(\alpha)$

Проекция на ось вдоль $\text{AB}$ дает величину скорости катера относительно берега:

$v_{отн1} = v \cos(\beta_1) + u \cos(\alpha)$

При движении из B в A вектор относительной скорости $\vec{v}_{отн2}$ направлен от B к A. Условие компенсации сноса остается таким же:

$v \sin(\beta_2) = u \sin(\alpha)$

Отсюда следует, что углы одинаковы: $\beta_1 = \beta_2 = \beta$.

Скорость катера относительно берега при движении из B в A:

$v_{отн2} = v \cos(\beta) - u \cos(\alpha)$

Из условия $v \sin(\beta) = u \sin(\alpha)$ выразим $\cos(\beta)$:

$\cos(\beta) = \sqrt{1 - \sin^2(\beta)} = \sqrt{1 - \frac{u^2 \sin^2(\alpha)}{v^2}} = \frac{\sqrt{v^2 - u^2 \sin^2(\alpha)}}{v}$

Подставим это выражение в формулы для $v_{отн1}$ и $v_{отн2}$:

$v_{отн1} = \sqrt{v^2 - u^2 \sin^2(\alpha)} + u \cos(\alpha)$

$v_{отн2} = \sqrt{v^2 - u^2 \sin^2(\alpha)} - u \cos(\alpha)$

Общее время движения $\text{t}$ равно сумме времен движения туда и обратно:

$t = t_1 + t_2 = \frac{s}{v_{отн1}} + \frac{s}{v_{отн2}} = s \left( \frac{1}{\sqrt{v^2 - u^2 \sin^2(\alpha)} + u \cos(\alpha)} + \frac{1}{\sqrt{v^2 - u^2 \sin^2(\alpha)} - u \cos(\alpha)} \right)$

Приводя дроби к общему знаменателю, получаем:

$t = s \frac{2\sqrt{v^2 - u^2 \sin^2(\alpha)}}{(v^2 - u^2 \sin^2(\alpha)) - u^2 \cos^2(\alpha)} = s \frac{2\sqrt{v^2 - u^2 \sin^2(\alpha)}}{v^2 - u^2 (\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha))} = \frac{2s\sqrt{v^2 - u^2 \sin^2(\alpha)}}{v^2 - u^2}$

Преобразуем это уравнение для нахождения $\text{v}$. Пусть $X = v^2$.

$\frac{t}{2s} = \frac{\sqrt{X - u^2 \sin^2(\alpha)}}{X - u^2}$

Возведем обе части в квадрат:

$\left(\frac{t}{2s}\right)^2 (X - u^2)^2 = X - u^2 \sin^2(\alpha)$

Это квадратное уравнение относительно $X = v^2$. Подставим числовые значения:

$s = 1200$ м, $u = 1,9$ м/с, $\alpha = 60^\circ$, $t = 300$ с.

$u^2 = 1,9^2 = 3,61$ (м/с)$^2$

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin^2(60^\circ) = \frac{3}{4} = 0,75$

$\frac{t}{2s} = \frac{300}{2 \cdot 1200} = \frac{300}{2400} = \frac{1}{8}$ с/м

$\left(\frac{t}{2s}\right)^2 = \frac{1}{64}$ (с/м)$^2$

$\frac{1}{64} (X - 3,61)^2 = X - 3,61 \cdot 0,75$

$\frac{1}{64} (X^2 - 7,22X + 13,0321) = X - 2,7075$

$X^2 - 7,22X + 13,0321 = 64X - 173,28$

$X^2 - 71,22X + 186,3121 = 0$

Решим квадратное уравнение для $\text{X}$:

$D = (-71,22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 186,3121 = 5072,2884 - 745,2484 = 4327,04$

$\sqrt{D} = \sqrt{4327,04} \approx 65,78$

$X_{1,2} = \frac{71,22 \pm 65,78}{2}$

$X_1 = \frac{71,22 + 65,78}{2} = \frac{137}{2} = 68,5$

$X_2 = \frac{71,22 - 65,78}{2} = \frac{5,44}{2} = 2,72$

Мы получили два возможных значения для $v^2$: $v_1^2 = 68,5$ (м/с)$^2$ и $v_2^2 = 2,72$ (м/с)$^2$.

Для того чтобы катер мог двигаться против течения (из B в A), его скорость $\text{v}$ должна быть больше скорости течения $\text{u}$. Иначе $v_{отн2}$ будет отрицательной или нулевой. $v_{отн2} = v \cos(\beta) - u \cos(\alpha) > 0$ implies $v \cos(\beta) > u \cos(\alpha)$. Так как $\cos(\beta) < 1$, необходимо, чтобы $v > u \cos(\alpha)$. Более строгое условие: для возможности движения в обратном направлении скорость катера должна быть больше скорости течения: $v > u$.

$u = 1,9$ м/с. $u^2 = 3,61$ (м/с)$^2$.

Второе решение $v_2^2 = 2,72$ дает $v_2 = \sqrt{2,72} \approx 1,65$ м/с. Это значение меньше $u = 1,9$ м/с, поэтому оно физически невозможно.

Выбираем первое решение: $v^2 = 68,5$ (м/с)$^2$.

$v = \sqrt{68,5} \approx 8,276$ м/с.

Теперь найдем углы $\beta_1$ и $\beta_2$. Мы уже выяснили, что $\beta_1 = \beta_2 = \beta$.

$\sin(\beta) = \frac{u \sin(\alpha)}{v} = \frac{1,9 \cdot \sin(60^\circ)}{8,276} \approx \frac{1,9 \cdot 0,866}{8,276} \approx \frac{1,6454}{8,276} \approx 0,1988$

$\beta = \arcsin(0,1988) \approx 11,47^\circ$

Округлим результаты до двух-трех значащих цифр.

Ответ: скорость катера относительно воды $v \approx 8,3$ м/с; катер должен двигаться под углами $\beta_1 = \beta_2 \approx 11,5^\circ$ к прямой AB.