Номер 1.10, страница 6 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.10, страница 6.

Условие.

1.10. Капли дождя падают отвесно со скоростью $\text{u}$. По дороге катится мяч со скоростью $\text{v}$. Другой такой же мяч лежит неподвижно. На какой мяч попадает больше капель? Во сколько раз?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Скорость капель дождя (вертикальная) - $\text{u}$
Скорость катящегося мяча (горизонтальная) - $\text{v}$
Скорость неподвижного мяча - $\text{0}$

Найти:

1. На какой мяч попадает больше капель?
2. Во сколько раз больше?

Решение:
Количество капель, попадающих на мяч за единицу времени, зависит от их потока. Поток капель пропорционален их концентрации в воздухе $\text{n}$, площади поперечного сечения мяча $\text{S}$ и модулю скорости капель относительно мяча $\text{w}$. Поскольку мячи одинаковые (имеют одинаковую площадь $\text{S}$) и находятся в одном и том же дожде (концентрация $\text{n}$ одинакова), то количество попадающих на них капель будет прямо пропорционально модулю относительной скорости капель $\text{w}$.

Введем систему координат. Пусть ось OY направлена вертикально вниз (по направлению падения капель), а ось OX — горизонтально (по направлению движения мяча).В этой системе координат:

• Вектор скорости капель дождя: $\vec{u} = (0, u)$
• Вектор скорости катящегося мяча: $\vec{v} = (v, 0)$
• Вектор скорости неподвижного мяча: $\vec{v}_1 = (0, 0)$

На какой мяч попадает больше капель?

Найдем модули скоростей капель относительно каждого из мячей.

1. Для неподвижного мяча:
Относительная скорость капель $\vec{w}_1$ равна их абсолютной скорости, так как мяч покоится:$\vec{w}_1 = \vec{u} - \vec{v}_1 = (0, u) - (0, 0) = (0, u)$.Модуль этой скорости: $w_1 = |\vec{w}_1| = u$.

2. Для движущегося мяча:
Относительная скорость капель $\vec{w}_2$ находится как векторная разность скоростей капель и мяча:$\vec{w}_2 = \vec{u} - \vec{v} = (0, u) - (v, 0) = (-v, u)$.Поскольку векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ перпендикулярны, модуль относительной скорости $w_2$ можно найти по теореме Пифагора:$w_2 = |\vec{w}_2| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}$.

Теперь сравним модули относительных скоростей $w_1$ и $w_2$.Так как мяч катится, его скорость $v > 0$, следовательно, $v^2 > 0$.Отсюда $v^2 + u^2 > u^2$.Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем: $\sqrt{v^2 + u^2} > u$.Таким образом, $w_2 > w_1$.Поскольку количество попадающих капель пропорционально модулю относительной скорости, на движущийся мяч попадает больше капель.

Ответ: Больше капель попадает на мяч, который катится.

Во сколько раз?

Чтобы найти, во сколько раз больше капель попадает на движущийся мяч по сравнению с неподвижным, нужно найти отношение числа капель, попадающих на них за одно и то же время. Это отношение равно отношению модулей относительных скоростей:$\frac{N_2}{N_1} = \frac{w_2}{w_1} = \frac{\sqrt{v^2 + u^2}}{u}$.Данное выражение можно также записать в виде: $\sqrt{\frac{v^2 + u^2}{u^2}} = \sqrt{(\frac{v}{u})^2 + 1}$.

Ответ: В $\frac{\sqrt{v^2 + u^2}}{u}$ раз.