Номер 1.11, страница 6 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.11, страница 6.

Условие.

1.11. На лодке переплывают реку, отправляясь из пункта A (см. рисунок). Скорость лодки в стоячей воде $v = 5 м/с$, скорость течения реки $u = 3 м/с$, ширина реки $s = 200 м$.

а) В какой точке лодка пристанет к противоположному берегу, если держать курс перпендикулярно берегам?

б) Какой курс следует держать, чтобы попасть в точку B?

Для обоих случаев найдите время переправы.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Скорость лодки в стоячей воде $v = 5$ м/с

Скорость течения реки $u = 3$ м/с

Ширина реки $s = 200$ м

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

а) Смещение по течению $L_a$ - ? Время переправы $t_a$ - ?

б) Курс лодки (угол $\alpha$) - ? Время переправы $t_b$ - ?

Решение:

Введем систему координат: ось OY направим перпендикулярно берегу от точки A к точке B, а ось OX — вдоль берега по направлению течения. Начало координат — в точке А.

а) В этом случае лодка держит курс перпендикулярно берегам. Это означает, что вектор скорости лодки относительно воды $\vec{v}$ направлен вдоль оси OY. Вектор скорости течения $\vec{u}$ направлен вдоль оси OX. Результирующая скорость лодки относительно берега $\vec{v}_{рез}$ является векторной суммой этих скоростей: $\vec{v}_{рез} = \vec{v} + \vec{u}$.

Движение лодки можно рассматривать как два независимых движения: движение поперек реки со скоростью $\text{v}$ и движение вдоль реки со скоростью $\text{u}$.

Время, за которое лодка пересечет реку, определяется только шириной реки и скоростью, перпендикулярной берегу:

$t_a = \frac{s}{v} = \frac{200 \text{ м}}{5 \text{ м/с}} = 40 \text{ с}$

За это время течение снесет лодку вниз по реке. Расстояние, на которое ее снесет (смещение $L_a$), равно произведению скорости течения на время переправы:

$L_a = u \cdot t_a = 3 \text{ м/с} \cdot 40 \text{ с} = 120 \text{ м}$

Ответ: лодка пристанет к противоположному берегу на расстоянии 120 м ниже по течению от точки B; время переправы составит 40 с.

б) Чтобы попасть точно в точку B, результирующая скорость лодки относительно берега $\vec{v}_{рез}$ должна быть направлена строго перпендикулярно берегу (вдоль оси OY). Для этого скорость лодки относительно воды $\vec{v}$ должна быть направлена под некоторым углом $\alpha$ против течения так, чтобы ее составляющая вдоль оси OX компенсировала скорость течения.

Из векторного сложения $\vec{v}_{рез} = \vec{v} + \vec{u}$ следует, что векторы образуют прямоугольный треугольник, где скорость лодки относительно воды $\text{v}$ является гипотенузой, а скорость течения $\text{u}$ и результирующая скорость $v_{рез}$ — катетами.

Курс лодки — это направление ее скорости $\vec{v}$. Найдем угол $\alpha$ между вектором $\vec{v}$ и перпендикуляром к берегу (осью OY). Из прямоугольного треугольника скоростей:

$\sin\alpha = \frac{u}{v} = \frac{3 \text{ м/с}}{5 \text{ м/с}} = 0.6$

Значит, $\alpha = \arcsin(0.6) \approx 37^\circ$. Лодка должна держать курс против течения под этим углом к линии AB.

Результирующая скорость, с которой лодка будет пересекать реку, находится по теореме Пифагора:

$v_{рез} = \sqrt{v^2 - u^2} = \sqrt{(5 \text{ м/с})^2 - (3 \text{ м/с})^2} = \sqrt{25 - 9} \text{ м/с} = \sqrt{16} \text{ м/с} = 4 \text{ м/с}$

Теперь найдем время переправы для этого случая:

$t_b = \frac{s}{v_{рез}} = \frac{200 \text{ м}}{4 \text{ м/с}} = 50 \text{ с}$

Ответ: чтобы попасть в точку B, следует держать курс против течения под углом $\alpha = \arcsin(0.6) \approx 37^\circ$ к линии, перпендикулярной берегам; время переправы составит 50 с.