Номер 1.7, страница 6 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.7, страница 6.

Условие.

1.7. Человек, идущий вниз по опускающемуся эскалатору, затрачивает на спуск 1 мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, он затратит на 15 с меньше. Сколько времени он будет спускаться, стоя на эскалаторе?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$t_1 = 1 \text{ мин}$

$\Delta t = 15 \text{ с}$

Скорость человека во втором случае в 2 раза больше, чем в первом.

Перевод в систему СИ:

$t_1 = 1 \cdot 60 = 60 \text{ с}$

Время спуска во втором случае: $t_2 = t_1 - \Delta t = 60 \text{ с} - 15 \text{ с} = 45 \text{ с}$

Найти:

$t_3$ — время спуска на неподвижном эскалаторе.

Решение:

Обозначим длину эскалатора как $\text{L}$, скорость человека относительно эскалатора в первом случае как $v_ч$, а скорость эскалатора относительно земли как $v_э$.

В первом случае, когда человек идет вниз по опускающемуся эскалатору, его скорость относительно земли равна сумме его собственной скорости и скорости эскалатора: $v_1 = v_ч + v_э$. Время спуска $t_1 = 60 \text{ с}$. Длина эскалатора может быть выражена как:

$L = (v_ч + v_э) \cdot t_1$ (1)

Во втором случае человек идет вдвое быстрее, то есть его скорость относительно эскалатора равна $2v_ч$. Его скорость относительно земли становится $v_2 = 2v_ч + v_э$. Время спуска в этом случае $t_2 = 45 \text{ с}$. Длина эскалатора:

$L = (2v_ч + v_э) \cdot t_2$ (2)

Мы ищем время $t_3$, которое человек затратит на спуск, если будет просто стоять на эскалаторе. В этом случае его скорость относительно земли будет равна скорости эскалатора $v_э$.

$L = v_э \cdot t_3$ (3)

Приравняем правые части уравнений (1) и (2), так как длина эскалатора $\text{L}$ одинакова:

$(v_ч + v_э) \cdot t_1 = (2v_ч + v_э) \cdot t_2$

Подставим числовые значения времени:

$(v_ч + v_э) \cdot 60 = (2v_ч + v_э) \cdot 45$

Раскроем скобки:

$60v_ч + 60v_э = 90v_ч + 45v_э$

Сгруппируем слагаемые с $v_ч$ и $v_э$:

$60v_э - 45v_э = 90v_ч - 60v_ч$

$15v_э = 30v_ч$

Отсюда находим соотношение между скоростью эскалатора и скоростью человека:

$v_э = 2v_ч$ или $v_ч = \frac{v_э}{2}$

Теперь подставим это соотношение в уравнение (1):

$L = (\frac{v_э}{2} + v_э) \cdot t_1 = (\frac{3}{2}v_э) \cdot 60 = 90v_э$

Мы получили выражение для длины эскалатора $L = 90v_э$. Сравним его с уравнением (3): $L = v_э \cdot t_3$.

Из равенства $v_э \cdot t_3 = 90v_э$ следует, что:

$t_3 = 90 \text{ с}$

Это время также можно выразить в минутах: $90 \text{ с} = 1,5 \text{ мин}$.

Ответ: 90 с.