Номер 20.10, страница 124 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 20. Волновая оптика - номер 20.10, страница 124.

Условие.

20.10*. Луч белого света падает под углом $\alpha = 30^\circ$ на призму с преломляющим углом $\varphi = 45^\circ$. Показатель преломления стекла призмы для красного света $n_\text{К} = 1,62$, а для фиолетового $n_\text{Ф} = 1,67$. На каком расстоянии $\text{L}$ от призмы следует разместить экран шириной $s = 10 \text{ см}$, чтобы получить на нем изображение всего видимого спектра?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Угол падения луча белого света, $ \alpha = 30^\circ $

Преломляющий угол призмы, $ \varphi = 45^\circ $

Показатель преломления для красного света, $ n_к = 1,62 $

Показатель преломления для фиолетового света, $ n_ф = 1,67 $

Ширина экрана (спектра), $ s = 10 \text{ см} $

Перевод в систему СИ:

$ s = 0,1 \text{ м} $

Найти:

Расстояние от призмы до экрана, $ L $.

Решение:

При прохождении белого света через призму происходит его разложение в спектр из-за дисперсии — зависимости показателя преломления вещества от длины волны света. Красный свет (с меньшим показателем преломления $n_к$) отклоняется на меньший угол, а фиолетовый (с большим показателем преломления $n_ф$) — на больший. Чтобы найти расстояние до экрана, необходимо определить углы отклонения для крайних лучей спектра (красного и фиолетового), найти угловую ширину спектра и связать ее с линейной шириной на экране.

Рассмотрим ход луча через призму. Обозначим: $ \alpha_1 $ — угол падения на первую грань, $ \beta_1 $ — угол преломления после первой грани, $ \alpha_2 $ — угол падения на вторую грань (изнутри призмы), $ \beta_2 $ — угол выхода из второй грани. По условию, $ \alpha_1 = \alpha = 30^\circ $.

1. Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса) для первой грани призмы:

$ \sin \alpha_1 = n \sin \beta_1 $

Отсюда найдем угол преломления $ \beta_1 $:

$ \beta_1 = \arcsin \left( \frac{\sin \alpha_1}{n} \right) $

2. Из геометрии призмы следует, что преломляющий угол $ \varphi $ связан с углами $ \beta_1 $ и $ \alpha_2 $ соотношением:

$ \varphi = \beta_1 + \alpha_2 $

Отсюда найдем угол падения на вторую грань $ \alpha_2 $:

$ \alpha_2 = \varphi - \beta_1 $

3. Применим закон преломления для второй грани призмы (при выходе луча из стекла в воздух):

$ n \sin \alpha_2 = \sin \beta_2 $

Отсюда найдем угол выхода $ \beta_2 $:

$ \beta_2 = \arcsin(n \sin \alpha_2) = \arcsin(n \sin(\varphi - \beta_1)) $

4. Полный угол отклонения луча от первоначального направления $ \delta $ вычисляется по формуле:

$ \delta = \alpha_1 + \beta_2 - \varphi $

Проведем вычисления для красного и фиолетового света отдельно.

Для красного света ($ n_к = 1,62 $):

Угол преломления на первой грани:

$ \beta_{1к} = \arcsin \left( \frac{\sin 30^\circ}{1,62} \right) = \arcsin \left( \frac{0,5}{1,62} \right) \approx \arcsin(0,3086) \approx 17,97^\circ $

Угол падения на вторую грань:

$ \alpha_{2к} = \varphi - \beta_{1к} = 45^\circ - 17,97^\circ = 27,03^\circ $

Угол выхода из призмы:

$ \beta_{2к} = \arcsin(n_к \sin \alpha_{2к}) = \arcsin(1,62 \cdot \sin 27,03^\circ) \approx \arcsin(1,62 \cdot 0,4544) \approx \arcsin(0,7361) \approx 47,40^\circ $

Угол отклонения для красного света:

$ \delta_к = \alpha_1 + \beta_{2к} - \varphi = 30^\circ + 47,40^\circ - 45^\circ = 32,40^\circ $

Для фиолетового света ($ n_ф = 1,67 $):

Угол преломления на первой грани:

$ \beta_{1ф} = \arcsin \left( \frac{\sin 30^\circ}{1,67} \right) = \arcsin \left( \frac{0,5}{1,67} \right) \approx \arcsin(0,2994) \approx 17,42^\circ $

Угол падения на вторую грань:

$ \alpha_{2ф} = \varphi - \beta_{1ф} = 45^\circ - 17,42^\circ = 27,58^\circ $

Угол выхода из призмы:

$ \beta_{2ф} = \arcsin(n_ф \sin \alpha_{2ф}) = \arcsin(1,67 \cdot \sin 27,58^\circ) \approx \arcsin(1,67 \cdot 0,4630) \approx \arcsin(0,7732) \approx 50,64^\circ $

Угол отклонения для фиолетового света:

$ \delta_ф = \alpha_1 + \beta_{2ф} - \varphi = 30^\circ + 50,64^\circ - 45^\circ = 35,64^\circ $

Угловая ширина спектра, или угловая дисперсия, $ \Delta \delta $ — это разность углов отклонения фиолетового и красного лучей:

$ \Delta \delta = \delta_ф - \delta_к = 35,64^\circ - 32,40^\circ = 3,24^\circ $

На экране, расположенном на расстоянии $ L $ от призмы, ширина спектра $ s $ связана с угловой шириной $ \Delta \delta $ через тангенс угла:

$ \tan(\Delta \delta) = \frac{s}{L} $

Выразим искомое расстояние $ L $:

$ L = \frac{s}{\tan(\Delta \delta)} $

Подставим числовые значения ($\text{s}$ в метрах):

$ L = \frac{0,1 \text{ м}}{\tan(3,24^\circ)} \approx \frac{0,1}{0,0566} \approx 1,77 \text{ м} $

Ответ:

Экран следует разместить на расстоянии $ L \approx 1,77 $ м от призмы, чтобы получить на нем изображение всего видимого спектра.