Номер 20.14, страница 124 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 20. Волновая оптика - номер 20.14, страница 124.

Условие.

20.14**. Белый свет падает нормально на поверхность мыльной пленки с показателем преломления $n = 1,33$. Отраженный свет пропускают через светофильтр с узкой полосой пропускания. Используя поочередно различные светофильтры, наблюдают зависимость коэффициента отражения света от длины волны: при $\lambda_1 = 630$ нм — максимум, а при $\lambda_2 = 525$ нм — ближайший к нему минимум. Какова толщина пленки $\text{d}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Показатель преломления мыльной пленки, $n = 1.33$

Длина волны, при которой наблюдается максимум отражения, $λ_1 = 630 \text{ нм}$

Длина волны, при которой наблюдается ближайший минимум отражения, $λ_2 = 525 \text{ нм}$

Перевод в систему СИ:

$λ_1 = 630 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

$λ_2 = 525 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Найти:

Толщина пленки, $d - ?$

Решение:

При падении света на тонкую пленку происходит интерференция двух лучей: отраженного от передней поверхности пленки и отраженного от задней поверхности. Так как свет падает нормально, то геометрическая разность хода этих лучей равна удвоенной толщине пленки, $\text{2d}$.

При отражении света от оптически более плотной среды (в данном случае на границе воздух-пленка, так как $n > 1$) фаза волны изменяется на $π$, что эквивалентно дополнительной разности хода в $λ/2$. При отражении от оптически менее плотной среды (на границе пленка-воздух) изменения фазы не происходит.

Следовательно, оптическая разность хода $Δ$ для двух отраженных лучей равна:

$Δ = 2nd + \frac{λ}{2}$

Условие максимума (усиления) света при интерференции: оптическая разность хода должна быть равна целому числу длин волн. Пусть порядок максимума равен $m+1$ (где $m=0, 1, 2, ...$).

$Δ = (m+1)λ$

$2nd + \frac{λ}{2} = (m+1)λ$

$2nd = (m + \frac{1}{2})λ_1$ (1)

Условие минимума (ослабления) света: оптическая разность хода должна быть равна нечетному числу полуволн. Пусть порядок минимума равен $\text{k}$ (где $k=1, 2, 3, ...$).

$Δ = (k + \frac{1}{2})λ$

$2nd + \frac{λ}{2} = (k + \frac{1}{2})λ$

$2nd = kλ_2$ (2)

Поскольку толщина пленки $\text{d}$ и показатель преломления $\text{n}$ постоянны, мы можем приравнять правые части уравнений (1) и (2):

$(m + \frac{1}{2})λ_1 = kλ_2$

В условии сказано, что при $λ_2 = 525 \text{ нм}$ наблюдается ближайший к максимуму при $λ_1 = 630 \text{ нм}$ минимум. Так как $λ_2 < λ_1$, то порядок интерференции для минимума $\text{k}$ должен быть больше, чем порядок для максимума $\text{m}$. Ближайший минимум означает, что порядок $\text{k}$ является следующим целым числом после $\text{m}$. То есть, $k = m + 1$.

Подставим $k = m + 1$ в полученное равенство:

$(m + \frac{1}{2})λ_1 = (m + 1)λ_2$

Раскроем скобки и выразим $\text{m}$:

$mλ_1 + \frac{λ_1}{2} = mλ_2 + λ_2$

$mλ_1 - mλ_2 = λ_2 - \frac{λ_1}{2}$

$m(λ_1 - λ_2) = λ_2 - \frac{λ_1}{2}$

$m = \frac{λ_2 - \frac{λ_1}{2}}{λ_1 - λ_2}$

Подставим числовые значения длин волн:

$m = \frac{525 - \frac{630}{2}}{630 - 525} = \frac{525 - 315}{105} = \frac{210}{105} = 2$

Теперь, зная порядок максимума $m=2$, мы можем найти толщину пленки $\text{d}$ из уравнения (1):

$2nd = (m + \frac{1}{2})λ_1$

$d = \frac{(m + \frac{1}{2})λ_1}{2n}$

$d = \frac{(2 + \frac{1}{2}) \cdot 630 \cdot 10^{-9}}{2 \cdot 1.33} = \frac{2.5 \cdot 630 \cdot 10^{-9}}{2.66} = \frac{1575 \cdot 10^{-9}}{2.66} \approx 592.1 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Толщина пленки составляет примерно $592.1 \text{ нм}$.

Проверим результат, используя уравнение (2) с $k = m+1 = 3$:

$d = \frac{kλ_2}{2n} = \frac{3 \cdot 525 \cdot 10^{-9}}{2 \cdot 1.33} = \frac{1575 \cdot 10^{-9}}{2.66} \approx 592.1 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Результаты совпадают.

Ответ: Толщина пленки $\text{d}$ равна $592.1 \text{ нм}$.