Номер 20.19, страница 125 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 20. Волновая оптика - номер 20.19, страница 125.

Условие.

20.19** Точечный источник $\text{A}$ монохроматического света с длиной волны $\lambda = 500$ нм расположен на расстоянии $l = 50$ см от экрана, а на расстоянии $1,5l$ от экрана находится параллельное экрану плоское зеркало (см. рисунок после текста задачи). Какой вид имеет интерференционная картина на экране? Темная или светлая интерференционная полоса проходит на расстоянии $R = 2,0$ мм от точки $\text{O}$ (см. рисунок)?

Решение.

Решение 2.

Какой вид имеет интерференционная картина на экране?

Интерференционная картина возникает в результате сложения двух когерентных световых волн: волны, идущей непосредственно от источника A, и волны, отраженной от зеркала. Отраженную волну можно рассматривать как идущую от мнимого (виртуального) источника A', который является зеркальным отражением источника A. Таким образом, задача сводится к интерференции от двух точечных когерентных источников A и A'.

Рассмотрим точку P на экране, находящуюся на расстоянии $\text{R}$ от точки O. Оптическая разность хода $Δ_{опт}$ для лучей, приходящих в точку P от источников A и A', будет зависеть только от расстояния $\text{R}$ до центра O. Все точки, для которых $Δ_{опт}$ одинакова, будут лежать на окружности с центром в точке O и радиусом $\text{R}$. Следовательно, интерференционная картина будет представлять собой систему концентрических чередующихся светлых и темных колец с центром в точке O.

Ответ: Интерференционная картина на экране имеет вид системы концентрических светлых и темных колец с центром в точке O.

Темная или светлая интерференционная полоса проходит на расстоянии R = 2,0 мм от точки O (см. рисунок)?

Дано:

Длина волны света: $\lambda = 500 \text{ нм}$

Расстояние от источника до экрана: $l = 50 \text{ см}$

Расстояние от центра экрана до полосы: $R = 2,0 \text{ мм}$

Расстояние от зеркала до экрана: $1,5l$

Перевод в систему СИ:

$\lambda = 500 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

$l = 50 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,5 \text{ м}$

$R = 2,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Определить, является ли интерференционная полоса на расстоянии $\text{R}$ темной или светлой.

Решение:

Как было сказано выше, интерференция происходит между светом от реального источника A и его мнимого изображения A' в зеркале. Расположим начало координат в точке O на экране, а ось $\text{Ox}$ направим перпендикулярно экрану в сторону источника. Тогда координаты источника A будут $x_A = l$. Расстояние от источника A до зеркала равно $1,5l - l = 0,5l$. Мнимый источник A' будет находиться за зеркалом на таком же расстоянии. Его координата $x_{A'} = 1,5l + 0,5l = 2l$.

Рассмотрим точку P на экране с координатой $y_P = R$. Расстояние от источника A до точки P равно $r_A = \sqrt{l^2 + R^2}$.

Расстояние от мнимого источника A' до точки P равно $r_{A'} = \sqrt{(2l)^2 + R^2} = \sqrt{4l^2 + R^2}$.

Геометрическая разность хода лучей в точке P составляет: $Δ = r_{A'} - r_A = \sqrt{4l^2 + R^2} - \sqrt{l^2 + R^2}$.

При отражении света от оптически более плотной среды (зеркала) фаза волны меняется на $π$, что эквивалентно дополнительной разности хода в половину длины волны, т.е. $\frac{\lambda}{2}$.

Таким образом, полная оптическая разность хода равна: $Δ_{опт} = Δ + \frac{\lambda}{2} = \sqrt{4l^2 + R^2} - \sqrt{l^2 + R^2} + \frac{\lambda}{2}$.

Условие максимума (светлая полоса): $Δ_{опт} = m\lambda$, где $\text{m}$ - целое число.

Условие минимума (темная полоса): $Δ_{опт} = (m + \frac{1}{2})\lambda$, где $\text{m}$ - целое число.

Поскольку $R \ll l$ ($2 \cdot 10^{-3} \ll 0,5$), для вычисления $Δ$ можно использовать приближенную формулу $\sqrt{a^2+x^2} \approx a + \frac{x^2}{2a}$:

$r_{A'} = \sqrt{4l^2 + R^2} \approx 2l + \frac{R^2}{2(2l)} = 2l + \frac{R^2}{4l}$

$r_A = \sqrt{l^2 + R^2} \approx l + \frac{R^2}{2l}$

Тогда геометрическая разность хода:

$Δ \approx \left(2l + \frac{R^2}{4l}\right) - \left(l + \frac{R^2}{2l}\right) = l - \frac{R^2}{4l}$

Полная оптическая разность хода:

$Δ_{опт} \approx l - \frac{R^2}{4l} + \frac{\lambda}{2}$

Чтобы определить тип полосы, найдем, какому числу длин волн равна $Δ_{опт}$. Разделим выражение на $\lambda$:

$\frac{Δ_{опт}}{\lambda} \approx \frac{l}{\lambda} - \frac{R^2}{4l\lambda} + \frac{1}{2}$

Подставим числовые значения:

$\frac{l}{\lambda} = \frac{0,5 \text{ м}}{5 \cdot 10^{-7} \text{ м}} = 10^6$

$\frac{R^2}{4l\lambda} = \frac{(2 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2}{4 \cdot 0,5 \text{ м} \cdot 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}} = \frac{4 \cdot 10^{-6}}{10 \cdot 10^{-7}} = \frac{4 \cdot 10^{-6}}{10^{-6}} = 4$

Теперь найдем значение отношения $\frac{Δ_{опт}}{\lambda}$:

$\frac{Δ_{опт}}{\lambda} \approx 10^6 - 4 + \frac{1}{2} = 999996 + \frac{1}{2}$

Полученное значение имеет вид $m + \frac{1}{2}$, где $m = 999996$ является целым числом. Это соответствует условию минимума интерференции.

Ответ: На расстоянии $R = 2,0$ мм от точки O проходит темная интерференционная полоса.