Номер 20.24, страница 127 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 20. Волновая оптика - номер 20.24, страница 127.

Условие.

20.24. На дифракционную решетку с периодом $d = 14$ мкм падает нормально монохроматическая световая волна. При этом расстояние $\text{s}$ на экране между максимумами второго и третьего порядка равно 8,7 см. Какова длина волны $\lambda$ падающего света, если расстояние от решетки до экрана $L = 2,0$ м?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Период дифракционной решетки $d = 14$ мкм = $14 \times 10^{-6}$ м.

Расстояние на экране между максимумами второго и третьего порядка $s = 8,7$ см = $0,087$ м.

Расстояние от решетки до экрана $L = 2,0$ м.

Порядки максимумов: $k_2 = 2$, $k_3 = 3$.

Найти:

Длину волны падающего света $\lambda$.

Решение:

Условие возникновения дифракционных максимумов для решетки определяется формулой:

$d \sin \theta_k = k \lambda$

где $\text{d}$ — период решетки, $\theta_k$ — угол дифракции, соответствующий максимуму $\text{k}$-го порядка, $\text{k}$ — целое число (порядок максимума), $\lambda$ — длина волны света.

Расстояние $x_k$ от центрального максимума до максимума $\text{k}$-го порядка на экране связано с углом $\theta_k$ и расстоянием до экрана $\text{L}$ следующим соотношением:

$\tan \theta_k = \frac{x_k}{L}$

Поскольку в большинстве экспериментов по дифракции расстояние до экрана $\text{L}$ значительно больше, чем смещение максимумов $x_k$, углы дифракции $\theta_k$ малы. Это позволяет использовать приближение малых углов: $\sin \theta_k \approx \tan \theta_k$.

Приравнивая выражения, получаем:

$\frac{k \lambda}{d} \approx \frac{x_k}{L}$

Отсюда можно выразить координату $\text{k}$-го максимума на экране:

$x_k \approx \frac{k \lambda L}{d}$

Для максимумов второго ($k=2$) и третьего ($k=3$) порядков соответственно имеем:

$x_2 \approx \frac{2 \lambda L}{d}$

$x_3 \approx \frac{3 \lambda L}{d}$

Расстояние $\text{s}$ на экране между этими максимумами равно разности их координат:

$s = x_3 - x_2 \approx \frac{3 \lambda L}{d} - \frac{2 \lambda L}{d} = \frac{(3-2) \lambda L}{d} = \frac{\lambda L}{d}$

Из полученного соотношения выразим искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{s \cdot d}{L}$

Подставим числовые значения в системе СИ и произведем расчет:

$\lambda = \frac{0,087 \text{ м} \cdot 14 \times 10^{-6} \text{ м}}{2,0 \text{ м}} = \frac{1,218 \times 10^{-6}}{2,0} \text{ м} = 0,609 \times 10^{-6} \text{ м}$

Результат удобно представить в нанометрах (1 нм = $10^{-9}$ м):

$\lambda = 0,609 \times 10^{-6} \text{ м} = 609 \times 10^{-9} \text{ м} = 609$ нм.

Ответ: длина волны падающего света равна $609$ нм.