Номер 20.30, страница 127 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 20. Волновая оптика - номер 20.30, страница 127.

Условие.

20.30*. Свет, имеющий длину волны $\lambda$, падает наклонно на дифракционную решетку с периодом $\text{d}$. Угол падения равен $\alpha$. Какой вид имеет в этом случае формула дифракционной решетки?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина волны света: $λ$

Период дифракционной решетки: $\text{d}$

Угол падения света на решетку: $α$

Найти:

Формулу дифракционной решетки для случая наклонного падения света.

Решение:

Рассмотрим два соседних луча света, падающих на две соседние щели дифракционной решетки. Расстояние между этими щелями равно периоду решетки $\text{d}$.

Пусть плоская световая волна падает на решетку под углом $α$ к нормали. После прохождения решетки дифрагированные лучи, образующие один из дифракционных максимумов, распространяются под углом $β$ к нормали.

Для возникновения максимума в направлении $β$ необходимо, чтобы оптическая разность хода $Δ$ между лучами, прошедшими через соседние щели, была равна целому числу длин волн.

Оптическая разность хода складывается из двух частей: разности хода до плоскости решетки ($Δ_1$) и разности хода после плоскости решетки ($Δ_2$).

Разность хода до решетки возникает из-за того, что волновой фронт падающей волны достигает соседних щелей в разное время. Эта разность хода равна:

$Δ_1 = d \sin α$

После прохождения щелей дифрагированные лучи также имеют разность хода, которая зависит от угла дифракции $β$:

$Δ_2 = d \sin β$

Чтобы получить общую формулу, которая будет справедлива для любого расположения падающего и дифрагированного лучей относительно нормали, введем правило знаков. Будем считать углы, отсчитанные от нормали по одну сторону (например, против часовой стрелки), положительными, а по другую сторону — отрицательными.

В этом случае общая оптическая разность хода между лучами из соседних щелей выражается как:

$Δ = d \sin β - d \sin α$

Условие конструктивной интерференции (условие образования дифракционных максимумов) заключается в том, что разность хода должна быть кратна длине волны:

$Δ = kλ$, где $\text{k}$ — целое число ($k = 0, \pm1, \pm2, ...$), называемое порядком максимума.

Приравнивая два выражения для разности хода, получаем искомую формулу дифракционной решетки для случая наклонного падения:

$d(\sin β - \sin α) = kλ$

Эта формула является обобщением стандартной формулы дифракционной решетки. Если свет падает перпендикулярно решетке, то угол падения $α = 0$, и формула принимает привычный вид $d \sin β = kλ$. Если же падающий и дифрагированный лучи находятся по разные стороны от нормали, то углы $α$ и $β$ будут иметь разные знаки, и формула (если рассматривать абсолютные величины углов) примет вид $d(\sin α + \sin β) = kλ$.

Ответ: Формула дифракционной решетки при наклонном падении света имеет вид $d(\sin β - \sin α) = kλ$, где $\text{d}$ — период решетки, $α$ — угол падения, $β$ — угол дифракции, $λ$ — длина волны света, а $\text{k}$ — целое число, определяющее порядок максимума. Углы $α$ и $β$ считаются положительными, если они отсчитываются в одну сторону от нормали к решетке, и отрицательными, если в другую.