Номер 21.5, страница 128 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 21. Пространство, время, движение в теории относительности - номер 21.5, страница 128.

Условие.

21.5*. Одна из двух одинаковых частиц неподвижна, другая движется с релятивистской скоростью $\text{v}$. Пользуясь релятивистской формулой сложения скоростей, найдите скорость $\text{u}$ центра масс частиц.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Две одинаковые частицы.

Скорость первой частицы в лабораторной системе отсчета (ЛСО): $v_1 = 0$.

Скорость второй частицы в ЛСО: $v_2 = v$.

Найти:

Скорость центра масс частиц $v_{цм}$.

Решение:

Центр масс системы частиц — это такая точка, относительно которой полный импульс системы равен нулю. Система отсчета, связанная с центром масс (СЦМ), движется так, что в ней суммарный релятивистский импульс частиц равен нулю.

Пусть лабораторная система отсчета (ЛСО) — это система S, а система отсчета центра масс (СЦМ) — это система S'. Пусть система S' движется относительно S со скоростью $V = v_{цм}$, которую нам нужно найти. Направим ось X вдоль вектора скорости $\text{v}$.

В системе S' скорости частиц $v'_1$ и $v'_2$ должны быть таковы, чтобы суммарный импульс был равен нулю. Поскольку частицы одинаковы (имеют одинаковую массу покоя $m_0$), это означает, что их скорости должны быть равны по модулю и противоположны по направлению: $v'_1 = -v'_2$. Обозначим скорость второй частицы в СЦМ как $u'$, тогда скорость первой будет $-u'$.

Воспользуемся релятивистским законом сложения скоростей, чтобы выразить скорости $v_1$ и $v_2$ в ЛСО через скорости в СЦМ ($u'$ и $-u'$) и скорость самой СЦМ ($\text{V}$).

Скорость первой частицы в ЛСО (S) равна:

$v_1 = \frac{-u' + V}{1 - \frac{u'V}{c^2}}$

Скорость второй частицы в ЛСО (S) равна:

$v_2 = \frac{u' + V}{1 + \frac{u'V}{c^2}}$

По условию задачи, $v_1 = 0$ и $v_2 = v$.

Из условия $v_1 = 0$ получаем:

$\frac{-u' + V}{1 - \frac{u'V}{c^2}} = 0$

Это равенство выполняется, когда числитель равен нулю, то есть $-u' + V = 0$, откуда $u' = V$.

Теперь подставим $u' = V$ в выражение для $v_2$ и учтем, что $v_2 = v$:

$v = \frac{V + V}{1 + \frac{V \cdot V}{c^2}} = \frac{2V}{1 + \frac{V^2}{c^2}}$

Мы получили уравнение относительно искомой скорости центра масс $\text{V}$. Решим его:

$v \left(1 + \frac{V^2}{c^2}\right) = 2V$

$v + \frac{vV^2}{c^2} - 2V = 0$

Перепишем это как квадратное уравнение относительно $\text{V}$:

$\frac{v}{c^2} V^2 - 2V + v = 0$

Решаем это уравнение:

$V = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot \frac{v}{c^2} \cdot v}}{2 \cdot \frac{v}{c^2}} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - \frac{4v^2}{c^2}}}{\frac{2v}{c^2}}$

$V = \frac{2 \pm 2\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{\frac{2v}{c^2}} = \frac{c^2}{v} \left(1 \pm \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)$

Получили два решения. Мы должны выбрать физически осмысленное решение, для которого скорость центра масс $\text{V}$ не превышает скорость света $\text{c}$.

Рассмотрим решение со знаком "+": $V_1 = \frac{c^2}{v} \left(1 + \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)$. Поскольку $v \le c$, то $\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \ge 0$. Следовательно, $1 + \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \ge 1$. Тогда $V_1 \ge \frac{c^2}{v}$. Так как $v \le c$, то $\frac{c}{v} \ge 1$, и $V_1 \ge c$. Это решение нефизично.

Рассмотрим решение со знаком "−": $V_2 = \frac{c^2}{v} \left(1 - \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)$. Можно показать, что эта скорость всегда меньше $\text{c}$. В нерелятивистском пределе, когда $v \ll c$, можно использовать приближение $\sqrt{1-x} \approx 1 - x/2$. Тогда:

$V_2 \approx \frac{c^2}{v} \left(1 - \left(1 - \frac{v^2}{2c^2}\right)\right) = \frac{c^2}{v} \cdot \frac{v^2}{2c^2} = \frac{v}{2}$

Это совпадает с классической формулой для скорости центра масс двух одинаковых тел $v_{цм} = (m \cdot 0 + m \cdot v) / (m+m) = v/2$. Таким образом, второе решение является правильным.

Выражение для скорости центра масс можно также упростить, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $1 + \sqrt{1 - v^2/c^2}$:

$V = \frac{c^2}{v} \left(1 - \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right) = \frac{c^2}{v} \frac{\left(1 - \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)\left(1 + \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)}{1 + \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{c^2}{v} \frac{1 - (1 - \frac{v^2}{c^2})}{1 + \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{c^2}{v} \frac{\frac{v^2}{c^2}}{1 + \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{v}{1 + \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Обе формы ответа эквивалентны.

Ответ: $v_{цм} = \frac{c^2}{v} \left(1 - \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)$ или, в эквивалентной форме, $v_{цм} = \frac{v}{1 + \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$.