Номер 21.9, страница 129 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 21. Пространство, время, движение в теории относительности - номер 21.9, страница 129.

Условие.

21.9*. В космическом корабле, летящем со скоростью $v = 0,60 c$ относительно Земли, растет стебель лука со скоростью $u_0 = 5,0 \text{ см/сут.}$. Какова скорость $\text{u}$ роста стебля с точки зрения земного наблюдателя? Стебель расположен под прямым углом к направлению движения корабля.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Скорость космического корабля относительно Земли, $v = 0,60c$

Скорость роста стебля в системе отсчета корабля, $u_0 = 5,0$ см/сут

Стебель расположен перпендикулярно направлению движения корабля.

$v = 0,60c = 0,60 \times 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} = 1,8 \cdot 10^8 \text{ м/с}$
$u_0 = 5,0 \frac{\text{см}}{\text{сут}} = \frac{5,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}}{24 \cdot 3600 \text{ с}} = \frac{0,05 \text{ м}}{86400 \text{ с}} \approx 5,79 \cdot 10^{-7} \text{ м/с}$

Найти:

Скорость роста стебля с точки зрения земного наблюдателя, $\text{u}$.

Решение:

Данная задача решается с использованием принципов специальной теории относительности. Введем две инерциальные системы отсчета (ИСО):

1. ИСО $\text{S}$, связанная с Землей (неподвижная).

2. ИСО $S'$, связанная с космическим кораблем, которая движется со скоростью $\text{v}$ относительно Земли.

Пусть движение корабля происходит вдоль оси $\text{Ox}$. Тогда скорость стебля лука в системе $S'$ направлена перпендикулярно движению, например, вдоль оси $Oy'$. Таким образом, компоненты скорости роста стебля в ИСО $S'$ равны: $u'_x = 0$ и $u'_y = u_0$.

Скорость роста стебля $\text{u}$ для земного наблюдателя — это скорость, с которой, по его измерениям, увеличивается длина стебля. Пусть за время $\Delta t_0$ в корабле (по часам космонавта) стебель вырос на длину $\Delta L_0$. Тогда $u_0 = \frac{\Delta L_0}{\Delta t_0}$.

Для наблюдателя на Земле (в ИСО $\text{S}$) прирост длины стебля будет таким же, $\Delta L = \Delta L_0$, поскольку поперечные размеры не изменяются при релятивистском движении. Однако промежуток времени $\Delta t$, за который произошел этот прирост, будет отличаться из-за эффекта замедления времени. Время в движущейся системе отсчета $S'$ течет медленнее с точки зрения наблюдателя в $\text{S}$:

$\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Тогда скорость роста стебля, которую измерит земной наблюдатель, будет равна:

$u = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{\Delta L_0}{\frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}} = \frac{\Delta L_0}{\Delta t_0} \sqrt{1 - v^2/c^2} = u_0 \sqrt{1 - v^2/c^2}$

Этот же результат можно получить, используя релятивистскую формулу преобразования для поперечной составляющей скорости ($u_y$):

$u_y = \frac{u'_y \sqrt{1-v^2/c^2}}{1+\frac{v u'_x}{c^2}}$

Подставляя наши значения $u'_x = 0$ и $u'_y = u_0$, получаем:

$u = u_y = \frac{u_0 \sqrt{1-v^2/c^2}}{1+\frac{v \cdot 0}{c^2}} = u_0 \sqrt{1-v^2/c^2}$

Теперь выполним вычисления. Подставим заданные значения:

$v = 0,60c$

$u_0 = 5,0$ см/сут

$u = 5,0 \cdot \sqrt{1 - (0,60c)^2/c^2} = 5,0 \cdot \sqrt{1 - 0,36} = 5,0 \cdot \sqrt{0,64} = 5,0 \cdot 0,8 = 4,0$ см/сут

Таким образом, для наблюдателя на Земле стебель лука растет медленнее.

Ответ: $u = 4,0$ см/сут.