Номер 21.15, страница 129 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 21. Пространство, время, движение в теории относительности - номер 21.15, страница 129.

Условие.

21.15*. Как зависит период $\text{T}$ обращения релятивистского протона в кольцевом ускорителе от скорости протона $\text{v}$? Модуль индукции магнитного поля равен $\text{B}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Протон, движущийся с релятивистской скоростью $\text{v}$.

Модуль индукции магнитного поля $\text{B}$.

Масса покоя протона $m_0$.

Заряд протона $\text{e}$.

Скорость света в вакууме $\text{c}$.

Найти:

Зависимость периода обращения $\text{T}$ от скорости $\text{v}$, т.е. $T(v)$.

Решение:

На релятивистский протон, движущийся в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции, действует сила Лоренца. Эта сила является центростремительной и заставляет протон двигаться по окружности. Запишем второй закон Ньютона в релятивистской форме. Сила Лоренца, действующая на протон, равна:

$F_Л = evB$

Эта сила сообщает протону центростремительное ускорение, и для движения по окружности она должна быть равна центростремительной силе. Центростремительная сила для релятивистской частицы выражается через ее релятивистскую массу $\text{m}$:

$F_ц = \frac{mv^2}{R}$

где $\text{R}$ – радиус орбиты, а $\text{m}$ – релятивистская масса протона, которая зависит от скорости:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Приравниваем силу Лоренца и центростремительную силу:

$evB = \frac{mv^2}{R} = \frac{m_0v^2}{R\sqrt{1-v^2/c^2}}$

Из этого соотношения выразим радиус траектории $\text{R}$:

$R = \frac{m_0v}{eB\sqrt{1-v^2/c^2}}$

Период обращения $\text{T}$ – это время одного полного оборота. Он равен отношению длины окружности $L=2\pi R$ к скорости движения $\text{v}$:

$T = \frac{L}{v} = \frac{2\pi R}{v}$

Подставим найденное выражение для радиуса $\text{R}$ в формулу для периода:

$T = \frac{2\pi}{v} \cdot \frac{m_0v}{eB\sqrt{1-v^2/c^2}}$

После сокращения скорости $\text{v}$ получаем окончательное выражение для периода обращения в зависимости от скорости:

$T(v) = \frac{2\pi m_0}{eB\sqrt{1-v^2/c^2}}$

Эта формула показывает, что период обращения релятивистского протона зависит от его скорости. С увеличением скорости $\text{v}$ (при $v \to c$) знаменатель $\sqrt{1-v^2/c^2}$ уменьшается, а следовательно, период обращения $\text{T}$ увеличивается.

Ответ:

Зависимость периода $\text{T}$ обращения релятивистского протона от его скорости $\text{v}$ в кольцевом ускорителе с индукцией магнитного поля $\text{B}$ описывается формулой: $T = \frac{2\pi m_0}{eB\sqrt{1-v^2/c^2}}$, где $m_0$ — масса покоя протона, $\text{e}$ — его элементарный заряд, $\text{c}$ — скорость света.