Номер 21.12, страница 129 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 21. Пространство, время, движение в теории относительности - номер 21.12, страница 129.

Условие.

21.12**. Электрон разгоняется до релятивистской скорости в однородном электрическом поле с напряженностью $\text{E}$. Запишите формулу зависимости скорости $\text{v}$ электрона от времени и постройте график этой зависимости. Через какое время $\tau$ скорость $\text{v}$ достигнет половины скорости света? Начальную скорость электрона считайте равной нулю.

Решение.

Решение 2.

Дано

Напряженность однородного электрического поля: $\text{E}$

Частица: электрон (заряд по модулю $\text{e}$, масса покоя $m_0$)

Начальная скорость: $v(0) = 0$

Найти

1. Формулу зависимости скорости $\text{v}$ от времени $\text{t}$, то есть $v(t)$.

2. Построить график зависимости $v(t)$.

3. Время $\tau$, за которое скорость достигнет половины скорости света ($v=c/2$).

Решение

Движение электрона в релятивистском случае описывается вторым законом Ньютона в релятивистской форме:

$\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}$

где $\vec{p}$ — релятивистский импульс, а $\vec{F}$ — сила, действующая на электрон. В однородном электрическом поле сила, действующая на электрон, постоянна и равна $\vec{F} = e\vec{E}$. Так как начальная скорость равна нулю, движение будет прямолинейным вдоль силовых линий поля. В проекции на направление движения:

$F = eE$

Тогда уравнение движения принимает вид:

$\frac{dp}{dt} = eE$

Проинтегрируем это уравнение по времени от $\text{0}$ до $\text{t}$. Поскольку сила $\text{eE}$ постоянна, а начальный импульс $p(0)=0$ (так как $v(0)=0$), получаем:

$p(t) - p(0) = \int_0^t eE dt \implies p(t) = eEt$

Релятивистский импульс связан со скоростью $\text{v}$ соотношением:

$p = \frac{m_0 v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

где $m_0$ — масса покоя электрона, $\text{c}$ — скорость света в вакууме.

Приравнивая два выражения для импульса, получаем уравнение для нахождения скорости $\text{v}$:

$\frac{m_0 v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = eEt$

1. Формула зависимости скорости v электрона от времени

Выразим скорость $\text{v}$ из полученного уравнения. Для этого возведем обе части в квадрат:

$\frac{m_0^2 v^2}{1 - v^2/c^2} = (eEt)^2$

$m_0^2 v^2 = (eEt)^2 (1 - \frac{v^2}{c^2})$

$m_0^2 v^2 = (eEt)^2 - \frac{(eEt)^2 v^2}{c^2}$

Сгруппируем члены, содержащие $v^2$:

$v^2 (m_0^2 + \frac{(eEt)^2}{c^2}) = (eEt)^2$

$v^2 = \frac{(eEt)^2}{m_0^2 + (eEt/c)^2}$

Извлекая квадратный корень, получаем искомую зависимость скорости от времени:

$v(t) = \frac{eEt}{\sqrt{m_0^2 + (eEt/c)^2}}$

Ответ: $v(t) = \frac{eEt}{\sqrt{m_0^2 + (eEt/c)^2}}$

2. График этой зависимости

График зависимости скорости $\text{v}$ от времени $\text{t}$ имеет следующие характеристики:

• График выходит из начала координат, так как $v(0) = 0$.
• При малых временах ($t \rightarrow 0$), когда $v \ll c$, знаменатель в формуле стремится к $m_0$, и зависимость становится линейной: $v(t) \approx \frac{eE}{m_0}t$. Это соответствует равноускоренному движению с постоянным ускорением $a = eE/m_0$.
• При больших временах ($t \rightarrow \infty$), скорость электрона асимптотически приближается к скорости света $\text{c}$. Линия $v=c$ является горизонтальной асимптотой графика. Это видно из формулы: если $\text{t}$ велико, то $m_0^2$ в подкоренном выражении можно пренебречь по сравнению с $(eEt/c)^2$, и тогда $v(t) \approx \frac{eEt}{\sqrt{(eEt/c)^2}} = \frac{eEt}{eEt/c} = c$.
• Ускорение электрона $a(t) = dv/dt$ постоянно уменьшается со временем от начального значения $eE/m_0$ до нуля. Это означает, что график является вогнутым (выпуклым вверх).

Таким образом, график представляет собой кривую, которая начинается в начале координат, сначала растет почти линейно, а затем плавно изгибается, асимптотически приближаясь к прямой $v=c$.

Ответ: График зависимости $v(t)$ — это возрастающая кривая, выходящая из начала координат $(0,0)$, с начальным наклоном, равным $eE/m_0$, и имеющая горизонтальную асимптоту $v=c$ при $t \rightarrow \infty$.

3. Время $\tau$, через которое скорость v достигнет половины скорости света

Подставим условие $v(\tau) = c/2$ в полученную формулу для скорости:

$\frac{c}{2} = \frac{eE\tau}{\sqrt{m_0^2 + (eE\tau/c)^2}}$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{c^2}{4} = \frac{(eE\tau)^2}{m_0^2 + (eE\tau/c)^2}$

$\frac{c^2}{4} (m_0^2 + \frac{(eE\tau)^2}{c^2}) = (eE\tau)^2$

$\frac{c^2 m_0^2}{4} + \frac{c^2 (eE\tau)^2}{4c^2} = (eE\tau)^2$

$\frac{c^2 m_0^2}{4} + \frac{(eE\tau)^2}{4} = (eE\tau)^2$

$\frac{c^2 m_0^2}{4} = (eE\tau)^2 - \frac{(eE\tau)^2}{4} = \frac{3}{4}(eE\tau)^2$

Умножим обе части на 4:

$c^2 m_0^2 = 3(eE\tau)^2$

Выразим $(eE\tau)^2$:

$(eE\tau)^2 = \frac{m_0^2 c^2}{3}$

Извлечем квадратный корень (берем положительное значение, так как время $\tau > 0$):

$eE\tau = \frac{m_0 c}{\sqrt{3}}$

Отсюда находим время $\tau$:

$\tau = \frac{m_0 c}{eE\sqrt{3}}$

Ответ: $\tau = \frac{m_0 c}{eE\sqrt{3}}$