Номер 21.6, страница 128 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 21. Пространство, время, движение в теории относительности - номер 21.6, страница 128.

Условие.

21.6* Пусть в системе отсчета K расстояние между точками, в которых произошли два события, равно $\text{l}$, а промежуток времени между этими событиями равен $\tau$. Обозначим $S = ct - l$. В системе отсчета K' соответствующая величина $S' = ct' - l'$, где $l'$ и $\tau'$ — расстояние и промежуток времени между теми же событиями. Исходя из постулатов теории относительности, докажите, что величины $\text{S}$ и $S'$ имеют одинаковый знак или обе обращаются в нуль.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Система отсчета K: расстояние между событиями $\text{l}$, промежуток времени $\tau$.

Величина $S = c\tau - l$.

Система отсчета K': расстояние между событиями $l'$, промежуток времени $\tau'$.

Величина $S' = c\tau' - l'$.

Найти:

Доказать, что $\text{S}$ и $S'$ имеют одинаковый знак или обе равны нулю.

Решение:

Ключевым следствием постулатов специальной теории относительности является инвариантность пространственно-временного интервала между двумя событиями. Квадрат интервала $\text{I}$ между двумя событиями, разделенными в инерциальной системе отсчета K промежутком времени $\tau$ и расстоянием $\text{l}$, равен:

$I = (c\tau)^2 - l^2$

где $\text{c}$ — скорость света в вакууме. Эта величина является лоренц-инвариантом, то есть ее значение одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Для системы K' имеем:

$I = (c\tau')^2 - (l')^2$

Следовательно, для двух систем отсчета K и K' выполняется равенство:

$(c\tau)^2 - l^2 = (c\tau')^2 - (l')^2$

Рассмотрим заданные в условии величины $S = c\tau - l$ и $S' = c\tau' - l'$. Выражение для квадрата интервала можно представить в виде произведения, используя формулу разности квадратов:

$I = (c\tau - l)(c\tau + l) = S \cdot (c\tau + l)$

Аналогично для системы отсчета K':

$I = (c\tau' - l')(c\tau' + l') = S' \cdot (c\tau' + l')$

Без ограничения общности будем считать, что промежуток времени $\tau$ неотрицателен ($\tau \ge 0$). Расстояние $\text{l}$ также по определению неотрицательно ($l \ge 0$). Следовательно, множитель $(c\tau + l)$ всегда неотрицателен. Знак величины $\text{S}$ совпадает со знаком инварианта $\text{I}$. Если $c\tau+l = 0$, то это означает, что $\tau=0$ и $l=0$, то есть события совпадают в пространстве и времени, и в этом тривиальном случае $S=0$, $I=0$, и, очевидно, $S'=0$. В остальных случаях $c\tau+l > 0$, и $sgn(S) = sgn(I)$.

Рассмотрим три возможных случая в зависимости от знака инвариантного интервала $\text{I}$.

1. Времениподобный интервал ($I > 0$)

В этом случае $(c\tau)^2 - l^2 > 0$, что при $\tau \ge 0$ эквивалентно $c\tau > l$.

Тогда величина $S = c\tau - l > 0$.

Поскольку $\text{I}$ — инвариант, в системе K' также $I = (c\tau')^2 - (l')^2 > 0$, откуда $c|\tau'| > l'$.

Для времениподобного интервала временной порядок событий инвариантен. Если в системе K мы выбрали $\tau = t_2 - t_1 > 0$, то и в системе K' будет $\tau' = t'_2 - t'_1 > 0$. Это следует из преобразований Лоренца: $\tau' = \gamma(\tau - v\Delta x/c^2)$. Так как $c\tau > l = |\Delta x|$, то $|\frac{v\Delta x}{c^2}| = \frac{|v|}{c}\frac{|\Delta x|}{c} < \frac{|\Delta x|}{c} < \tau$. Следовательно, выражение в скобках положительно, и $\tau' > 0$.

Поскольку $\tau' > 0$, из $c|\tau'| > l'$ следует $c\tau' > l'$.

Таким образом, $S' = c\tau' - l' > 0$.

В этом случае $S > 0$ и $S' > 0$, то есть знаки совпадают.

2. Пространственноподобный интервал ($I < 0$)

В этом случае $(c\tau)^2 - l^2 < 0$, что означает $c\tau < l$.

Тогда величина $S = c\tau - l < 0$.

В системе K' также $I = (c\tau')^2 - (l')^2 < 0$, откуда $c|\tau'| < l'$.

Величина $S' = c\tau' - l'$. Так как $l' > c|\tau'|$, то $S' = c\tau' - l' < c\tau' - c|\tau'|$.

Если $\tau' \ge 0$, то $|\tau'| = \tau'$, и $S' < c\tau' - c\tau' = 0$.

Если $\tau' < 0$, то $c\tau'$ — отрицательное число, и $S'$ также отрицательна как сумма двух отрицательных слагаемых ($c\tau'$ и $-l'$).

Следовательно, в любом случае $S' < 0$.

В этом случае $S < 0$ и $S' < 0$, то есть знаки совпадают.

3. Светоподобный (нулевой) интервал ($I = 0$)

В этом случае $(c\tau)^2 - l^2 = 0$, что означает $c\tau = l$.

Тогда величина $S = c\tau - l = 0$.

В системе K' также $I = (c\tau')^2 - (l')^2 = 0$, откуда $c|\tau'| = l'$.

Для светоподобного интервала, как и для времениподобного, временной порядок событий инвариантен (если события не совпадают). Если $\tau > 0$, то и $\tau' > 0$. (Доказательство: $\tau' = \gamma(\tau - v\Delta x/c^2)$. Из $c\tau=l=|\Delta x|$ следует, что $\Delta x = \pm c\tau$. Тогда $\tau'=\gamma(\tau \mp \frac{v c\tau}{c^2})=\gamma \tau(1 \mp v/c)$. Так как $|v|<c$, то $(1 \mp v/c)>0$, и значит $\tau'>0$).

Поскольку $\tau' > 0$, из $c|\tau'| = l'$ следует $c\tau' = l'$.

Таким образом, $S' = c\tau' - l' = 0$.

В этом случае $S=0$ и $S'=0$.

Итак, мы рассмотрели все возможные случаи и показали, что величины $\text{S}$ и $S'$ всегда имеют одинаковый знак или обе равны нулю. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Исходя из инвариантности пространственно-временного интервала, который является следствием постулатов теории относительности, показано, что величины $\text{S}$ и $S'$ всегда имеют одинаковый знак (обе положительные, обе отрицательные) или обе одновременно обращаются в нуль.