Номер 21.1, страница 128 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 21. Пространство, время, движение в теории относительности - номер 21.1, страница 128.

Условие.

21.1. При какой скорости $\text{v}$ движения тела$^{*)}$ релятивистское сокращение длины составляет 1%? 50%?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Относительное релятивистское сокращение длины в первом случае, $\eta_1 = 1\%$

Относительное релятивистское сокращение длины во втором случае, $\eta_2 = 50\%$

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Перевод в безразмерные величины:
$\eta_1 = 1\% = 0.01$
$\eta_2 = 50\% = 0.5$

Найти:

Скорость движения тела $v_1$ для сокращения 1%

Скорость движения тела $v_2$ для сокращения 50%

Решение:

Релятивистское (лоренцево) сокращение длины описывается формулой: $L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$, где $\text{L}$ — длина объекта в системе отсчета, относительно которой он движется, $L_0$ — собственная длина объекта (в его системе покоя), $\text{v}$ — скорость объекта, $\text{c}$ — скорость света.

Относительное сокращение длины $\eta$ определяется как отношение абсолютного сокращения $(L_0 - L)$ к собственной длине $L_0$: $\eta = \frac{L_0 - L}{L_0} = 1 - \frac{L}{L_0}$

Подставим в это выражение формулу для $\text{L}$: $\eta = 1 - \frac{L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{L_0} = 1 - \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Выразим из этой формулы скорость $\text{v}$. Сначала выразим корень: $\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = 1 - \eta$

Возведем обе части уравнения в квадрат: $1 - \frac{v^2}{c^2} = (1 - \eta)^2$

Теперь выразим $\frac{v^2}{c^2}$: $\frac{v^2}{c^2} = 1 - (1 - \eta)^2$

И, наконец, найдем $\text{v}$: $v = c \sqrt{1 - (1 - \eta)^2}$

Теперь, используя эту общую формулу, решим задачу для двух заданных случаев.

1% Подставим значение $\eta_1 = 0.01$ в нашу формулу: $v_1 = c \sqrt{1 - (1 - 0.01)^2} = c \sqrt{1 - (0.99)^2}$ $v_1 = c \sqrt{1 - 0.9801} = c \sqrt{0.0199}$ $v_1 \approx 0.141 c$

Чтобы найти скорость в м/с, умножим полученное значение на скорость света: $v_1 \approx 0.141 \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \approx 4.23 \cdot 10^7$ м/с.

Ответ: При релятивистском сокращении длины на 1% скорость тела должна составлять приблизительно $0.141c$ (или $4.23 \cdot 10^7$ м/с).

50% Подставим значение $\eta_2 = 0.5$ в формулу: $v_2 = c \sqrt{1 - (1 - 0.5)^2} = c \sqrt{1 - (0.5)^2}$ $v_2 = c \sqrt{1 - 0.25} = c \sqrt{0.75} = c \frac{\sqrt{3}}{2}$ $v_2 \approx 0.866 c$

Чтобы найти скорость в м/с, умножим полученное значение на скорость света: $v_2 \approx 0.866 \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \approx 2.598 \cdot 10^8$ м/с $\approx 2.6 \cdot 10^8$ м/с.

Ответ: При релятивистском сокращении длины на 50% скорость тела должна составлять приблизительно $0.866c$ (или $\frac{\sqrt{3}}{2}c$, что равно $2.6 \cdot 10^8$ м/с).