Номер 20.28, страница 127 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 20. Волновая оптика - номер 20.28, страница 127.

Условие.

20.28*. Как изменится вид дифракционного спектра, если источник белого света, дифракционную решетку и экран (не меняя расстояний между ними) переместить из воздуха в воду? Рассмотрите также случай, когда для получения дифракционного спектра используется стоящая за дифракционной решеткой собирающая линза.

Решение.

Решение 2.

Как изменится вид дифракционного спектра, если источник белого света, дифракционную решетку и экран (не меняя расстояний между ними) переместить из воздуха в воду?

Решение

Условие для наблюдения дифракционных максимумов на решетке задается формулой: $d \sin\varphi = k\lambda$, где $\text{d}$ – период дифракционной решетки, $\varphi$ – угол, под которым наблюдается максимум, $\text{k}$ – порядок максимума (целое число), а $\lambda$ – длина волны света.

При переходе света из одной среды в другую (из воздуха в воду) его частота остается неизменной, а скорость распространения уменьшается. Это приводит к уменьшению длины волны. Длина волны света в воде ($\lambda_{воды}$) связана с длиной волны в воздухе ($\lambda_{воздуха}$) через показатель преломления воды $n_{воды}$:

$\lambda_{воды} = \frac{\lambda_{воздуха}}{n_{воды}}$

Поскольку показатель преломления воды $n_{воды} \approx 1.33$, то есть больше 1, длина волны в воде становится короче, чем в воздухе.

Запишем условие максимума для воды:

$d \sin\varphi_{воды} = k\lambda_{воды} = k \frac{\lambda_{воздуха}}{n_{воды}}$

В то же время, в воздухе условие было: $d \sin\varphi_{воздуха} = k\lambda_{воздуха}$.

Сравнивая эти два выражения, получаем:

$d \sin\varphi_{воды} = \frac{d \sin\varphi_{воздуха}}{n_{воды}}$, откуда следует $\sin\varphi_{воды} = \frac{\sin\varphi_{воздуха}}{n_{воды}}$.

Так как $n_{воды} > 1$, то $\sin\varphi_{воды} < \sin\varphi_{воздуха}$. Это означает, что углы дифракции для всех порядков спектра и для всех цветов уменьшатся. Дифракционная картина сожмется к центру: цветные полосы спектров всех порядков станут уже и расположатся ближе к центральному белому максимуму.

Ответ: Дифракционный спектр сожмется, то есть станет более узким, а все его порядки расположатся ближе к центральному максимуму.

Рассмотрите также случай, когда для получения дифракционного спектра используется стоящая за дифракционной решеткой собирающая линза.

Решение

Когда за решеткой стоит собирающая линза, экран помещают в ее фокальной плоскости. Расстояние $\text{x}$ от центрального максимума до максимума $\text{k}$-го порядка на экране определяется как $x = F \tan\varphi$, где $\text{F}$ – фокусное расстояние линзы. Для малых углов дифракции можно считать, что $x \approx F \sin\varphi$. Подставив сюда выражение для $\sin\varphi$ из формулы решетки, получим:

$x \approx F \frac{k\lambda}{d}$

При перемещении всей системы в воду изменяются два параметра: длина волны $\lambda$ и фокусное расстояние линзы $\text{F}$. Как мы уже выяснили, $\lambda_{воды} = \lambda_{воздуха} / n_{воды}$.

Фокусное расстояние линзы зависит от показателя преломления материала линзы ($n_{линзы}$) и окружающей среды ($n_{среды}$) согласно формуле:

$\frac{1}{F} = \left(\frac{n_{линзы}}{n_{среды}} - 1\right) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$

где $R_1$ и $R_2$ – радиусы кривизны поверхностей линзы.

Отношение фокусных расстояний в воде и в воздухе ($n_{воздуха} \approx 1$) будет:

$\frac{F_{воды}}{F_{воздуха}} = \frac{n_{линзы} - 1}{\frac{n_{линзы}}{n_{воды}} - 1} = \frac{n_{воды}(n_{линзы} - 1)}{n_{линзы} - n_{воды}}$

Поскольку для обычного стекла $n_{линзы} \approx 1.5$, а для воды $n_{воды} \approx 1.33$, то $n_{линзы} > n_{воды}$. Значит, знаменатель $(n_{линзы} - n_{воды})$ положителен и меньше, чем числитель $(n_{линзы} - 1)$. Следовательно, отношение $\frac{F_{воды}}{F_{воздуха}} > 1$, то есть фокусное расстояние линзы в воде увеличивается.

Теперь сравним ширину спектра в воде и в воздухе, найдя отношение расстояний $x_{воды}$ и $x_{воздуха}$:

$\frac{x_{воды}}{x_{воздуха}} = \frac{F_{воды} \frac{k\lambda_{воды}}{d}}{F_{воздуха} \frac{k\lambda_{воздуха}}{d}} = \frac{F_{воды}}{F_{воздуха}} \cdot \frac{\lambda_{воды}}{\lambda_{воздуха}} = \frac{F_{воды}}{F_{воздуха}} \cdot \frac{1}{n_{воды}}$

Подставим сюда выражение для отношения фокусных расстояний:

$\frac{x_{воды}}{x_{воздуха}} = \frac{n_{воды}(n_{линзы} - 1)}{n_{линзы} - n_{воды}} \cdot \frac{1}{n_{воды}} = \frac{n_{линзы} - 1}{n_{линзы} - n_{воды}}$

Так как $n_{линзы} - 1 > n_{линзы} - n_{воды}$, это отношение больше единицы. Например, для $n_{линзы} = 1.5$ и $n_{воды} = 1.33$ отношение равно $\frac{1.5 - 1}{1.5 - 1.33} = \frac{0.5}{0.17} \approx 2.94 > 1$.

Это означает, что $x_{воды} > x_{воздуха}$. Таким образом, увеличение фокусного расстояния линзы оказывается более сильным фактором, чем уменьшение длины волны, и в результате дифракционный спектр на экране растягивается.

Ответ: Дифракционный спектр растянется, то есть станет шире.