Номер 20.29, страница 127 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 20. Волновая оптика - номер 20.29, страница 127.

Условие.

20.29*. На дифракционную решетку с периодом $d = 4,0 \text{ мкм}$ падает нормально свет, пропущенный через светофильтр. Полоса пропускания светофильтра — от $\lambda_1 = 500 \text{ нм}$ до $\lambda_2 = 550 \text{ нм}$. Будут ли спектры разных порядков перекрываться друг с другом?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$d = 4,0$ мкм

$λ_1 = 500$ нм

$λ_2 = 550$ нм

$d = 4,0 \cdot 10^{-6}$ м
$λ_1 = 500 \cdot 10^{-9}$ м $= 5,0 \cdot 10^{-7}$ м
$λ_2 = 550 \cdot 10^{-9}$ м $= 5,5 \cdot 10^{-7}$ м

Найти:

Будут ли спектры разных порядков перекрываться?

Решение:

Условие максимумов для дифракционной решетки имеет вид:

$d \sin φ = kλ$

где $\text{d}$ — период решетки, $φ$ — угол дифракции, $\text{k}$ — порядок спектра ($k = 1, 2, 3, ...$), $λ$ — длина волны света.

Для каждого порядка $\text{k}$ наблюдается спектр, соответствующий диапазону длин волн от $λ_1$ до $λ_2$.

Спектр $\text{k}$-го порядка занимает диапазон углов от $φ_{k,min}$ до $φ_{k,max}$, где:

$\sin φ_{k,min} = \frac{kλ_1}{d}$ (начало спектра)

$\sin φ_{k,max} = \frac{kλ_2}{d}$ (конец спектра)

Спектры соседних порядков $\text{k}$ и $k+1$ будут перекрываться, если конец спектра $\text{k}$-го порядка будет наблюдаться под углом, большим или равным углу, под которым наблюдается начало спектра $(k+1)$-го порядка.

Условие перекрытия: $φ_{k,max} \ge φ_{k+1,min}$.

Так как для углов от 0 до 90° функция синуса возрастает, это условие эквивалентно:

$\sin φ_{k,max} \ge \sin φ_{k+1,min}$

Подставим выражения для синусов углов:

$\frac{kλ_2}{d} \ge \frac{(k+1)λ_1}{d}$

Умножим обе части на $\text{d}$:

$kλ_2 \ge (k+1)λ_1$

$kλ_2 \ge kλ_1 + λ_1$

$kλ_2 - kλ_1 \ge λ_1$

$k(λ_2 - λ_1) \ge λ_1$

$k \ge \frac{λ_1}{λ_2 - λ_1}$

Подставим числовые значения:

$k \ge \frac{500 \text{ нм}}{550 \text{ нм} - 500 \text{ нм}} = \frac{500}{50} = 10$

Таким образом, перекрытие спектров начнется при $k=10$, то есть спектр 10-го порядка будет перекрываться со спектром 11-го порядка.

Теперь определим максимальный порядок спектра $k_{max}$, который можно наблюдать с помощью данной решетки. Максимальный угол дифракции не может превышать 90°, поэтому $\sin φ \le 1$.

Из формулы решетки $k = \frac{d \sin φ}{λ}$. Максимальное значение $\text{k}$ достигается при $\sin φ = 1$ и минимальной длине волны $λ_1$:

$k_{max} = \frac{d}{\lambda_1} = \frac{4,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{500 \cdot 10^{-9} \text{ м}} = \frac{4000 \cdot 10^{-9} \text{ м}}{500 \cdot 10^{-9} \text{ м}} = 8$

Максимально возможный порядок наблюдаемого спектра равен 8. Поскольку перекрытие начинается только с 10-го порядка ($k \ge 10$), а максимальный наблюдаемый порядок равен 8, то наблюдаемые спектры разных порядков перекрываться не будут.

Ответ: Спектры разных порядков перекрываться не будут.