Номер 21.2, страница 128 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 21. Пространство, время, движение в теории относительности - номер 21.2, страница 128.

Условие.

21.2. Собственное среднее время жизни одной из нестабильных элементарных частиц (время, измеренное в системе отсчета, в которой эта частица покоится) $\tau_0 = 2,2$ мкс. Пучок таких частиц движется со скоростью $v = 0,95c$. Какова средняя длина $\text{l}$ их пробега в отсутствие столкновений?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Собственное среднее время жизни частицы $τ_0 = 2,2$ мкс

Скорость пучка частиц $v = 0,95c$

В системе СИ:

$τ_0 = 2,2 \cdot 10^{-6}$ с

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Средняя длина пробега $\text{l}$.

Решение:

Эта задача связана с эффектами специальной теории относительности. Время жизни нестабильной частицы, движущейся с релятивистской скоростью, с точки зрения наблюдателя в лабораторной (неподвижной) системе отсчета будет больше, чем ее собственное время жизни. Это явление называется замедлением времени.

Время жизни частицы $τ$ в лабораторной системе отсчета связано с собственным временем жизни $τ_0$ следующим соотношением:

$τ = \frac{τ_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Средняя длина пробега $\text{l}$ — это расстояние, которое частица проходит в лабораторной системе отсчета за время $τ$. Оно вычисляется по формуле:

$l = v \cdot τ$

Подставим выражение для $τ$ в формулу для длины пробега:

$l = v \cdot \frac{τ_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Теперь выполним вычисления. Скорость $v = 0,95c$.

Сначала рассчитаем релятивистский множитель в знаменателе:

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \sqrt{1 - \frac{(0,95c)^2}{c^2}} = \sqrt{1 - 0,95^2} = \sqrt{1 - 0,9025} = \sqrt{0,0975} \approx 0,31225$

Теперь можем рассчитать среднюю длину пробега $\text{l}$:

$l = \frac{v \cdot τ_0}{0,31225} = \frac{0,95 \cdot c \cdot τ_0}{0,31225}$

$l = \frac{0,95 \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot (2,2 \cdot 10^{-6} \text{ с})}{0,31225} = \frac{6,27 \cdot 10^2 \text{ м}}{0,31225} \approx 2008,16 \text{ м}$

Исходные данные ($2,2$ мкс и $0,95c$) даны с точностью до двух значащих цифр, поэтому и ответ следует округлить до двух значащих цифр:

$l \approx 2,0 \cdot 10^3 \text{ м} = 2,0 \text{ км}$

Ответ: средняя длина пробега частиц составляет примерно 2,0 км.