Номер 21.3, страница 128 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 21. Пространство, время, движение в теории относительности - номер 21.3, страница 128.

Условие.

21.3*. Космическая ракета удаляется от наблюдателя со скоростью $v = 0,90 c$. На ракете установлена пушка.

а) Какую скорость $V_1$ относительно наблюдателя имеет снаряд, выпущенный вперед со скоростью $u_1 = 0,80 c$ относительно ракеты?

б) Какую скорость $u_2$ относительно ракеты надо сообщить снаряду, чтобы он приближался к наблюдателю со скоростью $V_2 = 0,50 c$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Скорость ракеты относительно наблюдателя: $v = 0,90c$

а) Скорость снаряда относительно ракеты: $u_1 = 0,80c$

б) Скорость снаряда относительно наблюдателя: $V_2 = 0,50c$ (направлена к наблюдателю)

Здесь $\text{c}$ — скорость света в вакууме.

Найти:

а) $V_1$ — скорость снаряда относительно наблюдателя.

б) $u_2$ — скорость снаряда относительно ракеты.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся релятивистским законом сложения скоростей. Пусть система отсчета, связанная с наблюдателем, будет неподвижной ($\text{S}$), а система отсчета, связанная с ракетой, — движущейся ($S'$). Скорость системы $S'$ относительно $\text{S}$ равна $\text{v}$. Направим ось координат в сторону движения ракеты от наблюдателя.

Скорость тела $\text{V}$ в системе $\text{S}$ (система наблюдателя) связана со скоростью этого же тела $u'$ в системе $S'$ (система ракеты) формулой:

$V = \frac{u' + v}{1 + \frac{u'v}{c^2}}$

а) Какую скорость V_1 относительно наблюдателя имеет снаряд, выпущенный вперед со скоростью u_1 = 0,80c относительно ракеты?

Снаряд выпущен вперед, то есть в том же направлении, что и движение ракеты. Поэтому его скорость в системе $S'$ (относительно ракеты) положительна: $u_1 = u' = 0,80c$. Скорость ракеты $v = 0,90c$.

Подставим эти значения в релятивистский закон сложения скоростей, чтобы найти скорость снаряда относительно наблюдателя $V_1$:

$V_1 = \frac{u_1 + v}{1 + \frac{u_1 v}{c^2}} = \frac{0,80c + 0,90c}{1 + \frac{(0,80c)(0,90c)}{c^2}}$

$V_1 = \frac{1,70c}{1 + 0,80 \cdot 0,90} = \frac{1,70c}{1 + 0,72} = \frac{1,70c}{1,72} \approx 0,988c$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $V_1 \approx 0,99c$. Положительный знак скорости означает, что снаряд удаляется от наблюдателя.

Ответ: Скорость снаряда относительно наблюдателя составит примерно $0,99c$.

б) Какую скорость u_2 относительно ракеты надо сообщить снаряду, чтобы он приближался к наблюдателю со скоростью V_2 = 0,50c?

Снаряд приближается к наблюдателю, значит, его скорость $V_2$ в системе отсчета наблюдателя направлена в сторону, противоположную движению ракеты. Поэтому ее проекция на выбранную ось будет отрицательной: $V_2 = -0,50c$.

Нам нужно найти скорость снаряда относительно ракеты, $u_2$. Для этого выразим $u'$ (в нашем случае $u_2$) из формулы сложения скоростей:

$u' = \frac{V - v}{1 - \frac{Vv}{c^2}}$

Подставим значения $V = V_2 = -0,50c$ и $v = 0,90c$:

$u_2 = \frac{-0,50c - 0,90c}{1 - \frac{(-0,50c)(0,90c)}{c^2}} = \frac{-1,40c}{1 - (-0,50 \cdot 0,90)}$

$u_2 = \frac{-1,40c}{1 + 0,45} = \frac{-1,40c}{1,45} \approx -0,966c$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $u_2 \approx -0,97c$.

Знак «минус» означает, что снаряд должен быть выпущен в направлении, противоположном движению ракеты (то есть в сторону наблюдателя).

Ответ: Снаряду необходимо сообщить скорость $0,97c$ относительно ракеты в направлении, противоположном ее движению.