Номер 20.27, страница 127 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 20. Волновая оптика - номер 20.27, страница 127.

Условие.

20.27*. На дифракционную решетку с периодом $d = 2,0$ мкм падает нормально свет с длиной волны $\lambda = 500$ нм. За решеткой расположена собирающая линза с фокусным расстоянием $F = 50$ см. Где нужно разместить экран, чтобы получить на нем четкий дифракционный спектр? Каково расстояние $\text{s}$ на экране между спектром третьего порядка и центральным максимумом?

Решение.

Решение 2.

Где нужно разместить экран, чтобы получить на нем четкий дифракционный спектр?

Для того чтобы получить четкую дифракционную картину, лучи, идущие от решетки параллельно под определенным углом, должны собраться в одной точке на экране. Собирающая линза фокусирует параллельные лучи в своей фокальной плоскости. Следовательно, чтобы получить четкий дифракционный спектр, экран необходимо разместить в фокальной плоскости собирающей линзы, то есть на расстоянии, равном ее фокусному расстоянию.

Ответ: Экран нужно разместить на расстоянии 50 см от линзы.

Каково расстояние s на экране между спектром третьего порядка и центральным максимумом?

Дано:

Период решетки $d = 2,0$ мкм

Длина волны света $\lambda = 500$ нм

Фокусное расстояние линзы $F = 50$ см

Порядок спектра $k = 3$

$d = 2,0 \times 10^{-6}$ м
$\lambda = 500 \times 10^{-9}$ м $= 5,0 \times 10^{-7}$ м
$F = 50$ см $= 0,50$ м

Найти:

Расстояние $\text{s}$

Решение:

Условие максимумов дифракционной решетки определяется формулой:

$d \sin(\theta_k) = k \lambda$

где $\text{d}$ — период решетки, $\theta_k$ — угол, под которым наблюдается максимум $\text{k}$-го порядка, $\text{k}$ — целое число (порядок спектра), $\lambda$ — длина волны падающего света.

Для спектра третьего порядка ($k=3$) найдем синус угла дифракции $\theta_3$:

$\sin(\theta_3) = \frac{3\lambda}{d}$

Подставим числовые значения в СИ:

$\sin(\theta_3) = \frac{3 \cdot 5,0 \times 10^{-7} \text{ м}}{2,0 \times 10^{-6} \text{ м}} = \frac{1,5 \times 10^{-6}}{2,0 \times 10^{-6}} = 0,75$

Расстояние $\text{s}$ на экране от центрального максимума (для которого $\theta_0 = 0$) до максимума $\text{k}$-го порядка можно найти из геометрии установки. Экран находится в фокальной плоскости линзы, поэтому расстояние $\text{s}$ связано с углом $\theta_k$ и фокусным расстоянием $\text{F}$ следующим соотношением:

$s = F \tan(\theta_k)$

Для нахождения $\text{s}$ нам нужен $\tan(\theta_3)$. Мы можем найти его, зная $\sin(\theta_3)$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$:

$\cos(\theta_3) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta_3)} = \sqrt{1 - (0,75)^2} = \sqrt{1 - 0,5625} = \sqrt{0,4375} \approx 0,6614$

Теперь найдем тангенс угла:

$\tan(\theta_3) = \frac{\sin(\theta_3)}{\cos(\theta_3)} = \frac{0,75}{\sqrt{0,4375}} \approx \frac{0,75}{0,6614} \approx 1,134$

Наконец, вычислим расстояние $\text{s}$:

$s = F \tan(\theta_3) \approx 0,50 \text{ м} \cdot 1,134 \approx 0,567$ м

Переведем результат в сантиметры и округлим до двух значащих цифр, как в исходных данных:

$s \approx 57$ см

Ответ: Расстояние на экране между спектром третьего порядка и центральным максимумом составляет примерно 57 см.