Номер 20.20, страница 126 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 20. Волновая оптика - номер 20.20, страница 126.

Условие.

20.20*. Чтобы уменьшить коэффициент отражения света от поверхности стекла, на стекло наносят тонкую прозрачную пленку с показателем преломления $n_{\text{п}}$ меньшим, чем у стекла (так называемое «просветление оптики»). Найдите необходимую толщину пленки $\text{h}$, считая $n_{\text{п}} = \sqrt{n}$, где $\text{n}$ — показатель преломления стекла. Длина волны света $\lambda = 500$ нм, свет падает на поверхность нормально.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Соотношение показателей преломления: $n_п = \sqrt{n}$

Длина волны света в вакууме: $\lambda = 500$ нм

Перевод в систему СИ:

$\lambda = 500 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Толщину пленки $\text{h}$.

Решение:

Для уменьшения коэффициента отражения (просветления оптики) необходимо, чтобы световые волны, отраженные от передней (воздух-пленка) и задней (пленка-стекло) поверхностей пленки, при интерференции гасили друг друга. Это достигается за счет деструктивной интерференции.

Рассмотрим две когерентные волны:

1. Волна, отраженная от границы воздух-пленка.
2. Волна, прошедшая в пленку, отраженная от границы пленка-стекло и вышедшая обратно в воздух.

При отражении света от границы с оптически более плотной средой (средой с большим показателем преломления) фаза волны изменяется на $\pi$. Показатель преломления воздуха примем за $n_{возд} \approx 1$. Из условия $n_п = \sqrt{n}$ и того факта, что для стекла $n > 1$, следует, что $n_п > 1$. Также в условии сказано, что $n_п < n$. Таким образом, имеем соотношение $n_{возд} < n_п < n$.

Первая волна отражается от границы воздух-пленка. Так как $n_п > n_{возд}$, отражение происходит от оптически более плотной среды, и фаза волны меняется на $\pi$.

Вторая волна отражается от границы пленка-стекло. Так как $n > n_п$, отражение также происходит от оптически более плотной среды, и фаза этой волны тоже меняется на $\pi$.

Поскольку обе отраженные волны испытывают одинаковый сдвиг фазы на $\pi$, дополнительная разность фаз за счет отражений между ними равна нулю. Условие интерференционного минимума (гашения) будет определяться только оптической разностью хода лучей.

Оптическая разность хода $\Delta$ для второй волны, которая проходит толщину пленки $\text{h}$ дважды (туда и обратно) при нормальном падении, равна:$\Delta = 2hn_п$

Условие деструктивной интерференции (минимума) имеет вид:$\Delta = (m + \frac{1}{2})\lambda$, где $m = 0, 1, 2, ...$

Таким образом, получаем уравнение:$2hn_п = (m + \frac{1}{2})\lambda$

Наименьшая толщина пленки, которая обеспечивает эффект просветления, соответствует минимальному значению $m=0$:$2hn_п = \frac{1}{2}\lambda$

Отсюда находим толщину пленки $\text{h}$:$h = \frac{\lambda}{4n_п}$

В условии задачи не приведено численное значение показателя преломления стекла $\text{n}$. Для проведения расчетов примем типичное значение для оптического стекла (крон): $n \approx 1.5$.

Тогда показатель преломления пленки будет равен:$n_п = \sqrt{n} = \sqrt{1.5} \approx 1.225$

Подставим числовые значения в формулу для толщины пленки:$h = \frac{500 \text{ нм}}{4 \cdot \sqrt{1.5}} \approx \frac{500 \text{ нм}}{4 \cdot 1.225} = \frac{500 \text{ нм}}{4.9} \approx 102 \text{ нм}$

Ответ: необходимая толщина пленки $h \approx 102$ нм.