Номер 20.18, страница 125 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 20. Волновая оптика - номер 20.18, страница 125.

Условие.

20.18*. Два плоских зеркала образуют двугранный угол $\alpha = 179,5^\circ$ (см. рисунок). На одинаковых расстояниях $d = 10$ см от каждого из зеркал расположен точечный источник А монохроматического света с длиной волны $\lambda = 600$ нм. Найдите расстояние $\text{x}$ между серединами соседних светлых интерференционных полос на экране, расположенном на расстоянии $L = 3,0$ м от линии пересечения зеркал. Свет непосредственно от источника на экран не попадает.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Двугранный угол между зеркалами, $\alpha = 179,5^\circ$

Расстояние от источника до каждого зеркала, $d = 10$ см

Длина волны света, $\lambda = 600$ нм

Расстояние от линии пересечения зеркал до экрана, $L = 3,0$ м

Перевод в систему СИ:

$d = 0,1$ м

$\lambda = 600 \cdot 10^{-9}$ м $= 6 \cdot 10^{-7}$ м

$L = 3,0$ м

Найти:

$\text{x}$ - расстояние между серединами соседних светлых интерференционных полос.

Решение:

Данная оптическая система известна как зеркала Френеля. Два плоских зеркала расположены под очень малым углом друг к другу. Указанный в условии двугранный угол $\alpha = 179,5^\circ$ является внешним углом между плоскостями зеркал. Рабочий угол $\theta$ между зеркалами будет равен:

$\theta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 179,5^\circ = 0,5^\circ$

Отражения точечного источника света А в двух зеркалах создают два мнимых когерентных источника $A_1$ и $A_2$. Интерференция света от этих мнимых источников наблюдается на экране. Расстояние $\text{x}$ между серединами соседних светлых полос (ширина интерференционной полосы) определяется по формуле, аналогичной для опыта Юнга:

$x = \frac{\lambda L_{eff}}{b}$

где $\lambda$ - длина волны, $L_{eff}$ - расстояние от плоскости мнимых источников до экрана, а $\text{b}$ - расстояние между мнимыми источниками $A_1$ и $A_2$.

1. Найдем расстояние $\text{b}$ между мнимыми источниками.

Источник А и его мнимые изображения $A_1$ и $A_2$ лежат на окружности с центром в точке пересечения зеркал O и радиусом $R = OA$. Так как источник A находится на одинаковом расстоянии $\text{d}$ от каждого из зеркал, он расположен на биссектрисе угла $\theta$. Из геометрии установки, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный точками O, A и проекцией точки A на одно из зеркал, находим радиус $\text{R}$:

$\sin(\frac{\theta}{2}) = \frac{d}{R} \implies R = \frac{d}{\sin(\theta/2)}$

Угол между направлениями на мнимые источники из точки O, $\angle A_1OA_2$, равен $2\theta$. Тогда расстояние $\text{b}$ между источниками $A_1$ и $A_2$ (длина хорды) равно:

$b = 2R \sin(\frac{2\theta}{2}) = 2R \sin\theta$

Подставляя выражение для $\text{R}$, получаем:

$b = 2 \frac{d}{\sin(\theta/2)} \sin\theta = 2 \frac{d}{\sin(\theta/2)} \cdot (2 \sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2})) = 4d\cos(\frac{\theta}{2})$

2. Найдем эффективное расстояние $L_{eff}$ до экрана.

Мнимые источники $A_1$ и $A_2$ расположены на расстоянии $R_{proj} = R\cos\theta$ от линии пересечения зеркал O (проекция на ось симметрии). Поскольку свет от источника не попадает на экран напрямую, источник A и экран находятся по разные стороны от линии пересечения зеркал. Таким образом, расстояние от мнимых источников до экрана $L_{eff}$ является суммой расстояния от линии пересечения зеркал до экрана $\text{L}$ и расстояния от мнимых источников до этой линии:

$L_{eff} = L + R\cos\theta = L + \frac{d}{\sin(\theta/2)}\cos\theta$

3. Вычислим итоговое значение $\text{x}$.

Подставим полученные выражения для $\text{b}$ и $L_{eff}$ в основную формулу:

$x = \frac{\lambda (L + \frac{d}{\sin(\theta/2)}\cos\theta)}{4d\cos(\frac{\theta}{2})}$

Проведем численные расчеты. Углы: $\theta = 0,5^\circ$, $\frac{\theta}{2} = 0,25^\circ$.

Расстояние между мнимыми источниками:

$b = 4 \cdot 0,1 \text{ м} \cdot \cos(0,25^\circ) = 0,4 \cdot 0,99999048 \approx 0,399996$ м

Расстояние от источника до пересечения зеркал:

$R = \frac{0,1 \text{ м}}{\sin(0,25^\circ)} = \frac{0,1}{0,0043633} \approx 22,9183$ м

Эффективное расстояние до экрана:

$L_{eff} = 3,0 \text{ м} + 22,9183 \text{ м} \cdot \cos(0,5^\circ) = 3,0 + 22,9183 \cdot 0,99996192 \approx 3,0 + 22,9174 = 25,9174$ м

Теперь можем найти расстояние между полосами:

$x = \frac{6 \cdot 10^{-7} \text{ м} \cdot 25,9174 \text{ м}}{0,399996 \text{ м}} \approx \frac{1,555044 \cdot 10^{-5}}{0,399996} \approx 3,8876 \cdot 10^{-5}$ м

Округляя до трех значащих цифр, получаем $x \approx 3,89 \cdot 10^{-5}$ м.

Ответ: $x \approx 3,89 \cdot 10^{-5}$ м (или $0,0389$ мм).