Номер 20.22, страница 126 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 20. Волновая оптика - номер 20.22, страница 126.

Условие.

20.22**. Собирающая линза с фокусным расстоянием $F = 10$ см разрезана по диаметру и части линзы раздвинуты на расстояние $h = 0,50$ мм. Перед линзой на расстоянии $d = 15$ см находится точечный источник монохроматического света с длиной волны $\lambda = 500$ нм. Оцените число $\text{N}$ светлых интерференционных полос на экране, расположенном за линзой на расстоянии $L = 60$ см. Промежуток между частями линзы закрыт непрозрачной перегородкой.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$F = 10 \text{ см}$
$h = 0,50 \text{ мм}$
$d = 15 \text{ см}$
$\lambda = 500 \text{ нм}$
$L = 60 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:
$F = 0,1 \text{ м}$
$h = 0,50 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
$d = 0,15 \text{ м}$
$\lambda = 500 \cdot 10^{-9} \text{ м}$
$L = 0,6 \text{ м}$

Найти:

$\text{N}$ - число светлых интерференционных полос.

Решение:

Данная оптическая система представляет собой линзу Бийе. Две половины собирающей линзы, раздвинутые на расстояние $\text{h}$, создают два действительных изображения точечного источника света $\text{S}$. Эти два изображения, $S_1'$ и $S_2'$, когерентны, так как образованы от одного источника, и играют роль двух источников в интерференционной схеме Юнга.

1. Найдем положение изображений.Сначала определим расстояние $\text{f}$ от линзы до изображения, которое давала бы целая линза, используя формулу тонкой линзы:$${1 \over d} + {1 \over f} = {1 \over F}$$$${1 \over f} = {1 \over F} - {1 \over d} = {1 \over 10 \text{ см}} - {1 \over 15 \text{ см}} = {3 - 2 \over 30 \text{ см}} = {1 \over 30 \text{ см}}$$Отсюда расстояние до изображений $f = 30 \text{ см} = 0,3 \text{ м}$.

Каждую половину линзы можно рассматривать как целую линзу, оптическая ось которой смещена на $h/2$ от главной оптической оси исходной системы. Источник $\text{S}$ находится на расстоянии $y_o = \pm h/2$ от оптической оси каждой из половин линзы. Поперечное увеличение линзы равно:$$M = -{f \over d} = -{30 \over 15} = -2$$Изображения $S_1'$ и $S_2'$ будут смещены относительно оптической оси всей системы. Смещение каждого изображения состоит из смещения оптической оси половины линзы ($y_{axis} = \pm h/2$) и смещения изображения относительно этой оси ($y_{rel} = M \cdot y_o$).Для верхней половины линзы: $y_o = -h/2$, $y_{axis} = +h/2$.Координата изображения $S_1'$:$$y_1' = y_{axis} + M \cdot y_o = {h \over 2} + (-{f \over d}) \cdot (-{h \over 2}) = {h \over 2} \cdot (1 + {f \over d})$$Для нижней половины линзы: $y_o = +h/2$, $y_{axis} = -h/2$.Координата изображения $S_2'$:$$y_2' = y_{axis} + M \cdot y_o = -{h \over 2} + (-{f \over d}) \cdot ({h \over 2}) = -{h \over 2} \cdot (1 + {f \over d})$$Расстояние $\text{a}$ между двумя когерентными источниками $S_1'$ и $S_2'$ равно:$$a = y_1' - y_2' = h \cdot (1 + {f \over d}) = 0,50 \text{ мм} \cdot (1 + {30 \over 15}) = 0,50 \text{ мм} \cdot 3 = 1,5 \text{ мм}$$

2. Найдем ширину интерференционной полосы.Расстояние от плоскости изображений $S_1'$, $S_2'$ до экрана равно $L' = L - f = 60 \text{ см} - 30 \text{ см} = 30 \text{ см}$.Ширина интерференционной полосы (расстояние между соседними максимумами) определяется по формуле:$$\Delta x = {\lambda L' \over a}$$$$\Delta x = {500 \cdot 10^{-9} \text{ м} \cdot 0,3 \text{ м} \over 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = {150 \cdot 10^{-9} \over 1,5 \cdot 10^{-3}} \text{ м} = 100 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 0,1 \text{ мм}$$

3. Найдем область интерференции.Интерференционная картина наблюдается только в той области на экране, где перекрываются световые пучки от обеих половин линзы. Найдем границы этой области. Область перекрытия определяется лучами, проходящими от мнимых источников $S_1'$ и $S_2'$ через внутренние края щелей ($y = \pm h/2$).Найдем координату на экране $y_{scr}$ для луча, идущего от источника $S_1'$ (с координатой $y_1'$) через край линзы (с координатой $y_L$). Из подобия треугольников:$${y_{scr} - y_1' \over L - f} = {y_L - y_1' \over 0 - f} \implies y_{scr} = y_1' - {L-f \over f}(y_L - y_1')$$Нижняя граница светового пучка от верхней половины линзы определяется $y_L = h/2$:$$y_{top\_beam\_lower} = y_1' - ({L \over f} - 1)( {h \over 2} - y_1')$$Подставим $y_1' = {h \over 2}(1 + f/d)$:$$y_{top\_beam\_lower} = {h \over 2}(1 + {f \over d}) - ({L \over f} - 1)({h \over 2} - {h \over 2}(1 + {f \over d})) = {h \over 2}(1 + {f \over d}) - ({L \over f} - 1)(-{{fh} \over {2d}})$$$$y_{top\_beam\_lower} = {h \over 2} + {{fh} \over {2d}} + {{Lh} \over {2d}} - {{fh} \over {2d}} = {h \over 2}(1 + {L \over d})$$Аналогично, верхняя граница светового пучка от нижней половины линзы:$$y_{bottom\_beam\_upper} = -{h \over 2}(1 + {L \over d})$$Область перекрытия $\text{H}$ на экране имеет ширину:$$H = |y_{top\_beam\_lower} - y_{bottom\_beam\_upper}| = h(1 + {L \over d})$$$$H = 0,50 \text{ мм} \cdot (1 + {60 \text{ см} \over 15 \text{ см}}) = 0,50 \text{ мм} \cdot (1 + 4) = 2,5 \text{ мм}$$

4. Оценим число светлых полос.Число светлых полос $\text{N}$ можно оценить как отношение полной ширины области интерференции $\text{H}$ к ширине одной полосы $\Delta x$:$$N = {H \over \Delta x} = {2,5 \text{ мм} \over 0,1 \text{ мм}} = 25$$Более точно, центральный максимум ($m=0$) находится в центре. Максимумы будут наблюдаться до тех пор, пока их координата $y_m = m \Delta x$ находится в пределах области интерференции $[-H/2, H/2]$.$$|m \Delta x| \le {H \over 2} \implies |m| \le {H \over 2 \Delta x} = {2,5 \over 2 \cdot 0,1} = 12,5$$Таким образом, порядок интерференции $\text{m}$ может принимать целые значения от -12 до +12. Общее число таких значений (включая $m=0$) равно $12 - (-12) + 1 = 25$.

Ответ: $N = 25$.