Номер 20.23, страница 126 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 20. Волновая оптика - номер 20.23, страница 126.

Условие.

20.23**. Кольца Ньютона. Плоско-выпуклая линза с радиусом кривизны выпуклой стороны $R = 1 \text{ м}$ лежит на плоской стеклянной пластине (см. рисунок). Систему освещают сверху монохроматическим светом с длиной волны $\lambda = 500 \text{ нм}$. При наблюдении сверху (в отраженном свете) видно круглое темное пятно, окруженное концентрическими светлыми и темными кольцами. Объясните это явление. Каков радиус $r_3$ третьего темного кольца?

Решение.

Решение 2.

Объясните это явление.

Наблюдаемое явление называется кольцами Ньютона. Оно возникает в результате интерференции световых волн, отраженных от двух поверхностей: от нижней сферической поверхности плоско-выпуклой линзы и от верхней плоской поверхности стеклянной пластины.

Между линзой и пластиной образуется тонкий воздушный зазор клиновидной формы, толщина которого $\text{d}$ увеличивается по мере удаления от точки касания. Падающий сверху свет частично отражается от границы стекло-воздух (нижняя поверхность линзы) и частично от границы воздух-стекло (верхняя поверхность пластины). Эти два отраженных луча когерентны и интерферируют друг с другом.

Оптическая разность хода $\Delta$ между этими лучами определяется толщиной воздушного зазора $\text{d}$ и изменением фазы при отражении. При отражении от оптически более плотной среды (от верхней поверхности пластины, граница воздух-стекло) фаза волны меняется на $\pi$, что эквивалентно дополнительной разности хода в половину длины волны ($\lambda/2$). При отражении от оптически менее плотной среды (от нижней поверхности линзы, граница стекло-воздух) изменения фазы не происходит. Таким образом, полная оптическая разность хода для лучей, падающих почти перпендикулярно, равна:

$\Delta = 2d + \frac{\lambda}{2}$

Условие интерференционного минимума (темные кольца), когда волны гасят друг друга, имеет вид:

$\Delta = (m + \frac{1}{2})\lambda$, где $m = 0, 1, 2, ...$

Подставив выражение для $\Delta$, получим: $2d + \frac{\lambda}{2} = (m + \frac{1}{2})\lambda$, что упрощается до $2d = m\lambda$.

Условие интерференционного максимума (светлые кольца), когда волны усиливают друг друга, имеет вид:

$\Delta = m\lambda$, где $m = 1, 2, 3, ...$

Подставив выражение для $\Delta$, получим: $2d + \frac{\lambda}{2} = m\lambda$, что упрощается до $2d = (m - \frac{1}{2})\lambda$.

В центре, в точке касания, толщина зазора $d=0$. Разность хода $\Delta = \lambda/2$, что соответствует условию минимума для $m=0$. Поэтому центральное пятно темное. По мере удаления от центра толщина зазора $\text{d}$ растет, и условия максимумов и минимумов поочередно выполняются, образуя систему концентрических светлых и темных колец.

Ответ: Явление объясняется интерференцией света, отраженного от нижней поверхности линзы и верхней поверхности пластины, с учетом потери полуволны при отражении от оптически более плотной среды. Это приводит к образованию интерференционной картины в виде концентрических колец (колец Ньютона) вокруг темного центрального пятна.

Каков радиус r₃ третьего темного кольца?

Дано:

Радиус кривизны линзы $R = 1$ м
Длина волны света $\lambda = 500$ нм
Номер темного кольца $m = 3$

Перевод в систему СИ:
$\lambda = 500 \cdot 10^{-9}$ м $= 5 \cdot 10^{-7}$ м

Найти:

Радиус третьего темного кольца $r_3$.

Решение:

Условие для образования темных интерференционных колец (минимумов) в отраженном свете имеет вид:

$2d_m = m\lambda$

где $d_m$ – толщина воздушного зазора на расстоянии $r_m$ от центра, а $\text{m}$ – порядок минимума ($m=1, 2, 3, ...$ для темных колец; $m=0$ соответствует центральному темному пятну). Для третьего темного кольца $m=3$.

Связь между толщиной зазора $d_m$, радиусом кольца $r_m$ и радиусом кривизны линзы $\text{R}$ можно найти из геометрии. Из теоремы Пифагора для треугольника, образованного радиусом кривизны $\text{R}$, радиусом кольца $r_m$ и отрезком $(R-d_m)$, имеем:

$R^2 = r_m^2 + (R-d_m)^2 = r_m^2 + R^2 - 2Rd_m + d_m^2$

Поскольку толщина зазора очень мала по сравнению с радиусом кривизны ($d_m \ll R$), слагаемым $d_m^2$ можно пренебречь. Тогда:

$r_m^2 \approx 2Rd_m$

Отсюда $d_m = \frac{r_m^2}{2R}$.

Подставим это выражение в условие минимума:

$2 \cdot \frac{r_m^2}{2R} = m\lambda$

$\frac{r_m^2}{R} = m\lambda$

Отсюда формула для радиуса $\text{m}$-го темного кольца:

$r_m = \sqrt{mR\lambda}$

Для третьего темного кольца ($m=3$) получаем:

$r_3 = \sqrt{3 R \lambda} = \sqrt{3 \cdot 1 \text{ м} \cdot 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}} = \sqrt{15 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2} = \sqrt{1.5 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}$

$r_3 \approx 1.225 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 1.225$ мм.

Ответ: $r_3 \approx 1.225 \cdot 10^{-3}$ м или $1.225$ мм.