Номер 21.11, страница 129 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 21. Пространство, время, движение в теории относительности - номер 21.11, страница 129.

Условие.

21.11**. Тело массой $\text{m}$ движется прямолинейно с ускорением $\text{a}$. Какая сила $\text{F}$ действует на него в момент, когда скорость тела равна $\text{v}$?

Решение.

Решение 2.

21.11** Дано:

масса покоя тела: $\text{m}$

ускорение тела: $\text{a}$

мгновенная скорость тела: $\text{v}$

Найти:

Сила, действующая на тело: $\text{F}$

Решение:

Данная задача относится к релятивистской динамике, поскольку в ней рассматривается движение тела со скоростью, которая может быть сопоставима со скоростью света. В этом случае классический второй закон Ньютона ($F=ma$) неприменим, и следует использовать его релятивистское обобщение.

Второй закон Ньютона в релятивистской форме гласит, что сила, действующая на тело, равна скорости изменения его релятивистского импульса:

$ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} $

Релятивистский импульс $ \vec{p} $ тела с массой покоя $\text{m}$, движущегося со скоростью $ \vec{v} $, определяется как:

$ \vec{p} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $

где $ c $ — скорость света в вакууме, а $\text{v}$ — модуль скорости.

По условию задачи тело движется прямолинейно, поэтому векторы силы $ \vec{F} $, ускорения $ \vec{a} $ и скорости $ \vec{v} $ направлены вдоль одной прямой. Это позволяет нам перейти от векторной записи к скалярной:

$ F = \frac{d}{dt} \left( \frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \right) $

Так как масса покоя $\text{m}$ является константой, мы можем вынести ее за знак производной:

$ F = m \frac{d}{dt} \left( \frac{v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \right) $

Для нахождения производной по времени $\text{t}$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Учтем, что скорость $\text{v}$ зависит от времени $\text{t}$, и по определению ускорение есть $ a = \frac{dv}{dt} $.

$ F = m \frac{d}{dv} \left( \frac{v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \right) \cdot \frac{dv}{dt} = ma \frac{d}{dv} \left( \frac{v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \right) $

Теперь найдем производную от выражения $ \frac{v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $ по скорости $\text{v}$, используя правило дифференцирования частного $ \left(\frac{u}{w}\right)' = \frac{u'w - uw'}{w^2} $:

$ \frac{d}{dv} \left( \frac{v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \right) = \frac{(v)'\sqrt{1 - v^2/c^2} - v(\sqrt{1 - v^2/c^2})'}{(\sqrt{1 - v^2/c^2})^2} $

Производная $(v)'$ по $\text{v}$ равна 1. Производная знаменателя:

$ (\sqrt{1 - v^2/c^2})' = \frac{1}{2\sqrt{1 - v^2/c^2}} \cdot \left(-\frac{2v}{c^2}\right) = -\frac{v}{c^2\sqrt{1 - v^2/c^2}} $

Подставляем производные в формулу:

$ \frac{1 \cdot \sqrt{1 - v^2/c^2} - v \left(-\frac{v}{c^2\sqrt{1 - v^2/c^2}}\right)}{1 - v^2/c^2} = \frac{\sqrt{1 - v^2/c^2} + \frac{v^2}{c^2\sqrt{1 - v^2/c^2}}}{1 - v^2/c^2} $

Приведем числитель к общему знаменателю $ \sqrt{1 - v^2/c^2} $:

$ \frac{\frac{(1 - v^2/c^2) + v^2/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}}{1 - v^2/c^2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}}{1 - v^2/c^2} = \frac{1}{(1 - v^2/c^2)\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \frac{1}{(1 - v^2/c^2)^{3/2}} $

Наконец, подставляем результат обратно в выражение для силы $\text{F}$:

$ F = ma \cdot \frac{1}{(1 - v^2/c^2)^{3/2}} $

Эта формула показывает, что сила, необходимая для поддержания постоянного ускорения, растет по мере увеличения скорости тела и стремится к бесконечности при $ v \to c $.

Ответ: $F = \frac{ma}{(1 - v^2/c^2)^{3/2}}$.