Номер 21.18, страница 130 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 21. Пространство, время, движение в теории относительности - номер 21.18, страница 130.

Условие.

21.18. С какой скоростью $\text{v}$ должен был бы двигаться поезд массой $m = 3000$ т, чтобы его кинетическая энергия была равна энергии покоя тела массой $\Delta m = 1$ г?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса поезда $m = 3000 \text{ т}$

Масса тела $\Delta m = 1 \text{ г}$

Перевод в систему СИ:
$m = 3000 \text{ т} = 3000 \cdot 1000 \text{ кг} = 3 \cdot 10^6 \text{ кг}$
$\Delta m = 1 \text{ г} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

Найти:

Скорость поезда $\text{v}$.

Решение:

По условию задачи, кинетическая энергия поезда $E_k$ должна быть равна энергии покоя тела массой $\Delta m$, которую обозначим $E_0$.

$E_k = E_0$

Кинетическая энергия поезда определяется классической формулой, поскольку можно предположить, что его скорость будет значительно меньше скорости света:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Энергия покоя тела вычисляется по формуле Эйнштейна для связи массы и энергии:

$E_0 = \Delta m c^2$

где $\text{c}$ — скорость света в вакууме ($c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$).

Приравняем выражения для кинетической энергии и энергии покоя:

$\frac{mv^2}{2} = \Delta m c^2$

Из этого равенства выразим искомую скорость $\text{v}$:

$v^2 = \frac{2 \Delta m c^2}{m}$

$v = \sqrt{\frac{2 \Delta m c^2}{m}} = c\sqrt{\frac{2 \Delta m}{m}}$

Подставим числовые значения в систему СИ и выполним расчеты:

$v^2 = \frac{2 \cdot (1 \cdot 10^{-3} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}{3 \cdot 10^6 \text{ кг}} = \frac{2 \cdot 10^{-3} \cdot 9 \cdot 10^{16}}{3 \cdot 10^6} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}$

$v^2 = \frac{18 \cdot 10^{13}}{3 \cdot 10^6} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2} = 6 \cdot 10^7 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}$

Теперь найдем значение скорости, извлекая квадратный корень:

$v = \sqrt{6 \cdot 10^7} \text{ м/с} = \sqrt{60 \cdot 10^6} \text{ м/с} = \sqrt{60} \cdot 10^3 \text{ м/с}$

Так как $\sqrt{60} \approx 7.746$, то:

$v \approx 7.746 \cdot 10^3 \text{ м/с} \approx 7746 \text{ м/с}$

Ответ: $v \approx 7746 \text{ м/с}$.