Номер 21.24, страница 130 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 21. Пространство, время, движение в теории относительности - номер 21.24, страница 130.

Условие.

21.24**. Релятивистская частица распадается на два одинаковых «осколка», каждый из которых имеет массу $\text{m}$. Один из «осколков» неподвижен относительно лабораторной системы отсчета, а другой движется со скоростью $v = 0,80c$. Какую скорость $\text{u}$ и массу $\text{M}$ имела частица до распада?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса каждого осколка: $\text{m}$
Скорость первого осколка: $v_1 = 0$
Скорость второго осколка: $v = 0,80c$

Найти:

Скорость исходной частицы: $u - ?$
Масса исходной частицы: $M - ?$

Решение:

Данный процесс распада является релятивистским, поэтому для его описания необходимо использовать законы сохранения релятивистской энергии и релятивистского импульса.

Запишем закон сохранения релятивистского импульса. Импульс системы до распада (импульс частицы с массой $\text{M}$ и скоростью $\text{u}$) равен сумме импульсов осколков после распада. Поскольку движение одномерное, используем проекции на ось движения:

$p_{до} = p_{после}$

$\frac{Mu}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} = p_1 + p_2$

Импульс первого осколка, который покоится, $p_1 = 0$. Импульс второго осколка $p_2 = \frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$.

$\frac{Mu}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} = \frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ (1)

Теперь запишем закон сохранения релятивистской энергии. Энергия исходной частицы равна сумме энергий осколков:

$E_{до} = E_{после}$

$\frac{Mc^2}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} = E_1 + E_2$

Энергия первого (покоящегося) осколка равна его энергии покоя $E_1 = mc^2$. Энергия второго (движущегося) осколка $E_2 = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$.

$\frac{Mc^2}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} = mc^2 + \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Разделив обе части на $c^2$, получим:

$\frac{M}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} = m + \frac{m}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $\text{u}$ и $\text{M}$.

Скорость u частицы до распада

Чтобы найти скорость $\text{u}$, разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{\frac{Mu}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}}{\frac{M}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}} = \frac{\frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}}{m + \frac{m}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}}$

Сократив общие множители, получаем:

$u = \frac{\frac{v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}} = \frac{v}{1 + \sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Подставим значение скорости $v = 0,80c$:

$\sqrt{1 - v^2/c^2} = \sqrt{1 - (0,80)^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$

Теперь вычислим скорость $\text{u}$:

$u = \frac{0,80c}{1 + 0,6} = \frac{0,80c}{1,6} = 0,5c$

Ответ: скорость частицы до распада $u = 0,5c$.

Масса M частицы до распада

Для нахождения массы $\text{M}$ воспользуемся уравнением (2), подставив в него найденное значение $\text{u}$:

$M = \left(m + \frac{m}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\right) \sqrt{1 - u^2/c^2} = m \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\right) \sqrt{1 - u^2/c^2}$

Мы уже вычислили, что $\sqrt{1 - v^2/c^2} = 0,6$.

Теперь вычислим $\sqrt{1 - u^2/c^2}$ для $u = 0,5c$:

$\sqrt{1 - u^2/c^2} = \sqrt{1 - (0,5)^2} = \sqrt{1 - 0,25} = \sqrt{0,75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим найденные значения в формулу для массы $\text{M}$:

$M = m \left(1 + \frac{1}{0,6}\right) \frac{\sqrt{3}}{2} = m \left(1 + \frac{5}{3}\right) \frac{\sqrt{3}}{2} = m \left(\frac{8}{3}\right) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{3} m$

Ответ: масса частицы до распада $M = \frac{4\sqrt{3}}{3} m$.