Номер 21.26, страница 130 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 21. Пространство, время, движение в теории относительности - номер 21.26, страница 130.

Условие.

21.26**. До какой энергии $\text{W}$ потребуется разогнать встречные электроны, чтобы при их столкновении могли происходить те же процессы, что при электрон-электронных столкновениях в «обычном» ускорителе, где пучок электронов с энергией $W_1 = 20 \text{ ГэВ}$ падает на неподвижную мишень?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Энергия электронов в пучке ускорителя с неподвижной мишенью: $W_1 = 20 \text{ ГэВ}$.

Энергия покоя электрона: $m_e c^2 \approx 0.511 \text{ МэВ}$.

Перевод в СИ для расчетов не требуется, так как их удобнее вести в электрон-вольтах.

Найти:

Энергию $\text{W}$ электронов во встречных пучках.

Решение:

Для того чтобы в результате столкновения могли происходить одни и те же физические процессы, необходимо, чтобы полная энергия, доступная для рождения новых частиц, была одинаковой в обоих случаях. Эта энергия равна полной энергии системы в системе центра масс (СЦМ), $E_{СЦМ}$. Величина $E_{СЦМ}$ является релятивистским инвариантом, то есть не зависит от системы отсчета. Найдем квадрат этой энергии для каждого из двух сценариев и приравняем их.

В первом случае (ускоритель с неподвижной мишенью) налетающий электрон с энергией $W_1$ и импульсом $p_1$ сталкивается с покоящимся электроном (мишенью) с энергией покоя $m_e c^2$. Квадрат полной энергии в СЦМ для такой системы вычисляется по формуле:

$E_{СЦМ,1}^2 = (W_1 + m_e c^2)^2 - (p_1 c)^2$

Из релятивистского соотношения между энергией и импульсом для налетающего электрона, $(p_1 c)^2 = W_1^2 - (m_e c^2)^2$. Подставив это, получим:

$E_{СЦМ,1}^2 = (W_1 + m_e c^2)^2 - (W_1^2 - (m_e c^2)^2) = W_1^2 + 2W_1 m_e c^2 + (m_e c^2)^2 - W_1^2 + (m_e c^2)^2 = 2W_1 m_e c^2 + 2(m_e c^2)^2$

Во втором случае (коллайдер со встречными пучками) два электрона, каждый с энергией $\text{W}$, летят навстречу друг другу. В этом случае лабораторная система отсчета является системой центра масс. Полный импульс системы равен нулю, а полная энергия в СЦМ — это просто сумма энергий двух частиц:

$E_{СЦМ,2} = W + W = 2W$

Тогда квадрат этой энергии равен:

$E_{СЦМ,2}^2 = (2W)^2 = 4W^2$

Теперь приравняем квадраты энергий в СЦМ для обоих случаев: $E_{СЦМ,1}^2 = E_{СЦМ,2}^2$.

$2W_1 m_e c^2 + 2(m_e c^2)^2 = 4W^2$

Выразим искомую энергию $\text{W}$:

$W = \sqrt{\frac{m_e c^2 (W_1 + m_e c^2)}{2}}$

Подставим числовые значения. Дано: $W_1 = 20 \text{ ГэВ}$, энергия покоя электрона $m_e c^2 \approx 0.511 \text{ МэВ} = 0.000511 \text{ ГэВ}$. Так как $W_1 \gg m_e c^2$, можно с высокой точностью считать, что $W_1 + m_e c^2 \approx W_1$. Формула упрощается:

$W \approx \sqrt{\frac{W_1 m_e c^2}{2}}$

Проведем вычисление:

$W \approx \sqrt{\frac{20 \text{ ГэВ} \cdot 0.000511 \text{ ГэВ}}{2}} = \sqrt{10 \cdot 0.000511} \text{ ГэВ} = \sqrt{0.00511} \text{ ГэВ} \approx 0.0715 \text{ ГэВ}$

Переводя в мегаэлектрон-вольты, получаем $W \approx 71.5 \text{ МэВ}$.

Ответ: $W \approx 71.5 \text{ МэВ}$.