Номер 21.22, страница 130 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 21. Пространство, время, движение в теории относительности - номер 21.22, страница 130.

Условие.

21.22**. На концах трубки со сжатой легкой пружиной удерживаются нитью одинаковые шарики массой $\text{m}$ (см. рисунок). При разрыве нити шарики разлетаются с одинаковыми скоростями $\text{u}$. Найдите скорости $v_1$ и $v_2$ разлетающихся шариков, если в момент «выстрела» трубка движется поступательно в направлении своей оси со скоростью $v > u$. Найдите также суммарный импульс $\text{p}$ разлетающихся шариков. Не противоречит ли полученный результат закону сохранения импульса? Скорости $\text{v}$, и считайте релятивистскими.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса каждого шарика: $\text{m}$

Скорость шариков относительно трубки в ее системе покоя: $\text{u}$

Скорость трубки в лабораторной системе отсчета (ЛСО): $\text{v}$

Условие: $v > u$

Скорости являются релятивистскими.

Найти:

Скорости шариков в ЛСО: $v_1, v_2$

Суммарный импульс шариков в ЛСО после разлета: $\text{p}$

Проверить на противоречие закону сохранения импульса.

Решение:

Рассмотрим задачу в двух инерциальных системах отсчета (ИСО):

1. Лабораторная система отсчета (ЛСО), которую будем считать неподвижной.

2. Система отсчета, связанная с трубкой (ИСО'), которая движется поступательно относительно ЛСО со скоростью $\text{v}$ вдоль своей оси.

В системе отсчета трубки (ИСО') до разрыва нити шарики покоятся. После разрыва они разлетаются под действием пружины в противоположные стороны с одинаковыми по модулю скоростями $\text{u}$. Если направить ось $\text{Ox}$ вдоль движения трубки, то скорости шариков в ИСО' будут равны $u'_1 = u$ и $u'_2 = -u$.

Скорости $v_1$ и $v_2$ разлетающихся шариков

Для определения скоростей шариков в ЛСО ($v_1$ и $v_2$) используем релятивистский закон сложения скоростей:

$v_x = \frac{v'_x + V}{1 + \frac{V v'_x}{c^2}}$

Здесь $v'_x$ — скорость тела в движущейся ИСО', $\text{V}$ — скорость ИСО' относительно ЛСО (в нашем случае $V=v$), $\text{c}$ — скорость света в вакууме.

Для первого шарика, который в ИСО' движется в направлении движения трубки ($u'_1 = u$):

$v_1 = \frac{u + v}{1 + \frac{vu}{c^2}}$

Для второго шарика, который в ИСО' движется в противоположном направлении ($u'_2 = -u$):

$v_2 = \frac{-u + v}{1 + \frac{v(-u)}{c^2}} = \frac{v - u}{1 - \frac{vu}{c^2}}$

Ответ: Скорости шариков в лабораторной системе отсчета равны $v_1 = \frac{v+u}{1 + vu/c^2}$ и $v_2 = \frac{v-u}{1 - vu/c^2}$.

Суммарный импульс $\text{p}$ разлетающихся шариков

Релятивистский импульс частицы с массой покоя $\text{m}$ и скоростью $\text{v}$ определяется как $p = \frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$.

Суммарный импульс шариков в ЛСО после разлета равен векторной сумме их импульсов: $p = p_1 + p_2$.

Найдем импульсы каждого шарика. Для этого предварительно вычислим релятивистские факторы $\sqrt{1 - v^2/c^2}$ для скоростей $v_1$ и $v_2$.

Для $v_1$:

$1 - \frac{v_1^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{c^2}\left(\frac{v+u}{1 + vu/c^2}\right)^2 = \frac{(1+vu/c^2)^2 - (v+u)^2/c^2}{(1+vu/c^2)^2} = \frac{1+2vu/c^2+v^2u^2/c^4 - (v^2+2vu+u^2)/c^2}{(1+vu/c^2)^2} = \frac{1 - v^2/c^2 - u^2/c^2 + v^2u^2/c^4}{(1+vu/c^2)^2} = \frac{(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)}{(1+vu/c^2)^2}$

Тогда импульс первого шарика:

$p_1 = \frac{mv_1}{\sqrt{1 - v_1^2/c^2}} = m \frac{(v+u)/(1+vu/c^2)}{\sqrt{(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)}/(1+vu/c^2)} = \frac{m(v+u)}{\sqrt{(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)}}$

Аналогично для $v_2$:

$1 - \frac{v_2^2}{c^2} = \frac{(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)}{(1-vu/c^2)^2}$

Импульс второго шарика:

$p_2 = \frac{mv_2}{\sqrt{1 - v_2^2/c^2}} = m \frac{(v-u)/(1-vu/c^2)}{\sqrt{(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)}/(1-vu/c^2)} = \frac{m(v-u)}{\sqrt{(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)}}$

Суммарный импульс шариков:

$p = p_1 + p_2 = \frac{m(v+u) + m(v-u)}{\sqrt{(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)}} = \frac{2mv}{\sqrt{(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)}}$

Ответ: Суммарный импульс разлетающихся шариков равен $p = \frac{2mv}{\sqrt{(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)}}$.

Не противоречит ли полученный результат закону сохранения импульса?

Рассмотрим замкнутую систему "два шарика + пружина". Закон сохранения импульса должен выполняться для этой системы.

Импульс системы до "выстрела" (в ЛСО). В начальном состоянии система представляет собой два шарика и сжатую пружину, движущиеся как единое целое со скоростью $\text{v}$. Согласно специальной теории относительности, энергия имеет массу ($E=mc^2$). Поэтому в полную массу покоя начальной системы $M_{0, нач}$ входит не только сумма масс покоя шариков $\text{2m}$, но и масса, эквивалентная потенциальной энергии сжатой пружины $E_p$.

$M_{0, нач} = 2m + E_p/c^2$

Энергию $E_p$ найдем из рассмотрения процесса в ИСО' (системе покоя трубки). По закону сохранения энергии в ИСО', начальная энергия системы (энергия покоя шариков + потенциальная энергия пружины) равна конечной энергии (сумма полных энергий разлетевшихся шариков):

$2mc^2 + E_p = 2 \times \frac{mc^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$

Отсюда $E_p = 2mc^2 \left(\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}} - 1\right)$.

Подставим это в выражение для $M_{0, нач}$:

$M_{0, нач} = 2m + 2m \left(\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}} - 1\right) = \frac{2m}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$

Теперь мы можем правильно рассчитать начальный импульс системы в ЛСО:

$p_{нач} = \frac{M_{0, нач} v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \frac{2m}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \cdot \frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \frac{2mv}{\sqrt{(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)}}$

Конечный импульс системы (после распрямления пружины) равен суммарному импульсу двух шариков $\text{p}$, который мы нашли в предыдущем пункте:

$p_{кон} = p = \frac{2mv}{\sqrt{(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)}}$

Поскольку $p_{нач} = p_{кон}$, закон сохранения импульса выполняется.

Если бы мы не учли вклад энергии пружины в массу системы, то получили бы неверный начальный импульс $p'_{нач} = \frac{2mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$, что привело бы к кажущемуся нарушению закона сохранения.

Ответ: Полученный результат не противоречит закону сохранения импульса. Для корректного применения закона необходимо рассматривать замкнутую систему "шарики+пружина" и учитывать, что потенциальная энергия сжатой пружины вносит вклад в релятивистскую массу и импульс системы до "выстрела".