Номер 21.20, страница 130 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 21. Пространство, время, движение в теории относительности - номер 21.20, страница 130.

Условие.

21.20. При какой скорости $\text{v}$ движения частицы ее кинетическая энергия равна энергии покоя?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$E_k = E_0$

где $E_k$ - кинетическая энергия частицы, $E_0$ - энергия покоя частицы.

Найти:

$\text{v}$ - скорость частицы

Решение:

Согласно специальной теории относительности, энергия покоя частицы $E_0$ и ее полная энергия $\text{E}$ определяются следующими формулами:

Энергия покоя: $E_0 = m_0 c^2$, где $m_0$ – масса покоя частицы, $\text{c}$ – скорость света в вакууме.

Полная релятивистская энергия: $E = m c^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, где $\text{v}$ - скорость частицы.

Релятивистская кинетическая энергия $E_k$ - это разность между полной энергией $\text{E}$ и энергией покоя $E_0$:

$E_k = E - E_0 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - m_0 c^2$

По условию задачи, кинетическая энергия равна энергии покоя:

$E_k = E_0$

Подставим выражения для энергий в это равенство:

$\frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - m_0 c^2 = m_0 c^2$

Перенесем $m_0 c^2$ в правую часть уравнения:

$\frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 2 m_0 c^2$

Сократим обе части уравнения на $m_0 c^2$ (так как масса покоя и скорость света не равны нулю):

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = 4$

Отсюда выразим знаменатель:

$1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4}$

Теперь выразим $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти отношение $\frac{v}{c}$:

$\frac{v}{c} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, скорость частицы $\text{v}$ равна:

$v = \frac{\sqrt{3}}{2} c$

Вычислим численное значение, приняв скорость света $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с:

$v \approx \frac{1.732}{2} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \approx 0.866 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \approx 2.598 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: $v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 2.6 \cdot 10^8$ м/с.