Номер 21.21, страница 130 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 21. Пространство, время, движение в теории относительности - номер 21.21, страница 130.

Условие.

21.21*. Какую скорость $v_p$ приобретет протон, пройдя ускоряющую разность потенциалов $U = 700 \text{ кВ}$? Какую скорость $v_e$ приобретет электрон, пройдя такую же разность потенциалов? Начальная скорость частиц равна нулю.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$U = 700 \text{ кВ}$

$v_{0} = 0 \text{ м/с}$ (начальная скорость частиц)

Константы:
Заряд протона $q_p$ и модуль заряда электрона $|q_e|$ равны элементарному заряду $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$.
Масса покоя протона $m_p \approx 1.67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$.
Масса покоя электрона $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$.
Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$.

В системе СИ:
$U = 700 \cdot 10^3 \text{ В} = 7 \cdot 10^5 \text{ В}$

Найти:

$v_p$ - скорость протона

$v_e$ - скорость электрона

Решение:

Согласно закону сохранения энергии (или теореме о кинетической энергии), работа, совершаемая электрическим полем над заряженной частицей, равна изменению ее кинетической энергии. Поскольку начальная скорость частиц равна нулю, работа поля полностью переходит в их конечную кинетическую энергию.

Работа электрического поля: $A = qU$.

Изменение кинетической энергии: $\Delta K = K_{конечная} - K_{начальная} = K_{конечная} - 0 = K$.

Таким образом, $K = qU$.

Какую скорость $v_p$ приобретет протон

Для протона можно использовать классическую формулу для кинетической энергии, так как его масса велика, и ожидаемая скорость будет значительно меньше скорости света.

$K_p = \frac{m_p v_p^2}{2}$

Приравниваем работу поля и кинетическую энергию:

$eU = \frac{m_p v_p^2}{2}$

Отсюда выражаем скорость протона $v_p$:

$v_p = \sqrt{\frac{2eU}{m_p}}$

Подставляем числовые значения:

$v_p = \sqrt{\frac{2 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 7 \cdot 10^5 \text{ В}}{1.67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{2.24 \cdot 10^{-13}}{1.67 \cdot 10^{-27}}} \text{ м/с} \approx \sqrt{1.34 \cdot 10^{14}} \text{ м/с} \approx 1.16 \cdot 10^7 \text{ м/с}$

Эта скорость составляет примерно 4% от скорости света, поэтому использование классической формулы является корректным.

Ответ: $v_p \approx 1.16 \cdot 10^7 \text{ м/с}$.

Какую скорость $v_e$ приобретет электрон

Масса электрона значительно меньше массы протона, поэтому его скорость будет гораздо выше. Проверим, можно ли использовать классическую механику.

Кинетическая энергия, приобретаемая электроном, такая же, как у протона: $K_e = eU = 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 7 \cdot 10^5 \text{ В} = 1.12 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$.

Энергия покоя электрона: $E_0 = m_e c^2 = 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 \approx 8.2 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$.

Так как кинетическая энергия ($1.12 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$) сравнима и даже превышает энергию покоя ($8.2 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$), необходимо использовать релятивистскую формулу для кинетической энергии.

Релятивистская кинетическая энергия: $K_e = (\gamma - 1)m_e c^2$, где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v_e^2/c^2}}$ – фактор Лоренца.

Приравниваем работу поля и релятивистскую кинетическую энергию:

$eU = (\gamma - 1)m_e c^2$

Выразим фактор Лоренца:

$\gamma = 1 + \frac{eU}{m_e c^2}$

$\gamma = 1 + \frac{1.12 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}}{8.2 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}} \approx 1 + 1.366 = 2.366$

Теперь выразим скорость $v_e$ из формулы для фактора Лоренца:

$v_e = c \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$

Подставляем значение $\gamma$:

$v_e = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{2.366^2}} \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{5.598}} \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot \sqrt{1 - 0.1786} \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot \sqrt{0.8214}$

$v_e \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot 0.906 \approx 2.72 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Эта скорость составляет примерно 90.6% от скорости света.

Ответ: $v_e \approx 2.72 \cdot 10^8 \text{ м/с}$.