Номер 21.17, страница 130 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 21. Пространство, время, движение в теории относительности - номер 21.17, страница 130.

Условие.

21.17*. На сколько меньше скорости света должна быть скорость электрона, чтобы его энергия была равна энергии покоя протона?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$E_e = E_{0,p}$

Константы:

Масса покоя электрона, $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31}$ кг

Масса покоя протона, $m_p \approx 1.672 \times 10^{-27}$ кг

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \times 10^8$ м/с

Найти:

$\Delta v = c - v_e$

Решение:

Полная энергия движущегося электрона $E_e$ в соответствии со специальной теорией относительности выражается формулой:

$E_e = \gamma m_e c^2 = \frac{m_e c^2}{\sqrt{1 - \frac{v_e^2}{c^2}}}$

где $v_e$ — скорость электрона, $m_e$ — его масса покоя, $\text{c}$ — скорость света.

Энергия покоя протона $E_{0,p}$ определяется формулой:

$E_{0,p} = m_p c^2$

где $m_p$ — масса покоя протона.

Согласно условию задачи, полная энергия электрона равна энергии покоя протона:

$E_e = E_{0,p}$

$\frac{m_e c^2}{\sqrt{1 - \frac{v_e^2}{c^2}}} = m_p c^2$

Сократим обе части уравнения на $c^2$:

$\frac{m_e}{\sqrt{1 - \frac{v_e^2}{c^2}}} = m_p$

Выразим из этого уравнения скорость электрона $v_e$. Для этого сначала найдем релятивистский множитель:

$\sqrt{1 - \frac{v_e^2}{c^2}} = \frac{m_e}{m_p}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$1 - \frac{v_e^2}{c^2} = \left(\frac{m_e}{m_p}\right)^2$

Отсюда выразим $\frac{v_e^2}{c^2}$:

$\frac{v_e^2}{c^2} = 1 - \left(\frac{m_e}{m_p}\right)^2$

Тогда скорость электрона $v_e$ равна:

$v_e = c \sqrt{1 - \left(\frac{m_e}{m_p}\right)^2}$

Мы ищем разность скоростей $\Delta v = c - v_e$:

$\Delta v = c - c \sqrt{1 - \left(\frac{m_e}{m_p}\right)^2} = c \left(1 - \sqrt{1 - \left(\frac{m_e}{m_p}\right)^2}\right)$

Поскольку отношение массы электрона к массе протона $\frac{m_e}{m_p}$ является очень малой величиной, то его квадрат $\left(\frac{m_e}{m_p}\right)^2$ будет еще меньше. Это позволяет использовать формулу биномиального приближения для малых $\text{x}$: $\sqrt{1-x} \approx 1 - \frac{x}{2}$.

Применим это приближение, приняв $x = \left(\frac{m_e}{m_p}\right)^2$:

$\Delta v \approx c \left(1 - \left(1 - \frac{1}{2}\left(\frac{m_e}{m_p}\right)^2\right)\right) = c \left(1 - 1 + \frac{1}{2}\left(\frac{m_e}{m_p}\right)^2\right) = \frac{c}{2} \left(\frac{m_e}{m_p}\right)^2$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$\Delta v \approx \frac{3 \times 10^8 \text{ м/с}}{2} \left(\frac{9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}}{1.672 \times 10^{-27} \text{ кг}}\right)^2$

$\Delta v \approx 1.5 \times 10^8 \times (5.4486 \times 10^{-4})^2 \approx 1.5 \times 10^8 \times 2.9687 \times 10^{-7} \approx 44.53$ м/с.

Ответ: скорость электрона должна быть меньше скорости света на 44.53 м/с.