Номер 21.25, страница 130 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 21. Пространство, время, движение в теории относительности - номер 21.25, страница 130.

Условие.

21.25**. Какую энергию $\text{W}$ нужно сообщить протону, чтобы при бомбардировке неподвижных атомов водорода стали возможны те же процессы рождения частиц, что и в случае столкновения двух протонов, движущихся навстречу друг другу с энергией $W_1 = 70$ ГэВ каждый?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Энергия каждого из двух протонов, движущихся навстречу друг другу: $W_1 = 70 \text{ ГэВ}$.

Энергия покоя протона: $E_0 = m_p c^2 \approx 938 \text{ МэВ} = 0.938 \text{ ГэВ}$.

Задача рассматривает также столкновение протона с энергией $\text{W}$ с неподвижным атомом водорода, при котором возможны те же процессы рождения частиц.

Найти:

Энергию $\text{W}$ налетающего протона.

Решение:

Условие, что при столкновении возможны одни и те же процессы рождения частиц, означает, что полная энергия в системе центра масс (СЦМ) в обоих случаях одинакова. Эта энергия связана с лоренц-инвариантной величиной $\text{s}$, квадратом полной энергии в СЦМ ($s = E_{см}^2$). Для решения задачи необходимо вычислить и приравнять инвариант $\text{s}$ для двух рассматриваемых случаев.

Поскольку энергии в задаче (десятки ГэВ) многократно превышают энергию связи электрона в атоме водорода (13.6 эВ) и его массу покоя (~0.5 МэВ), можно с высокой точностью считать, что налетающий протон взаимодействует со свободным покоящимся протоном.

1. Столкновение двух протонов на встречных пучках.

В этом случае лабораторная система отсчета совпадает с системой центра масс. Полная энергия системы равна сумме энергий двух протонов:

$E_{см1} = W_1 + W_1 = 2W_1$

Квадрат инвариантной массы системы равен:

$s_1 = E_{см1}^2 = (2W_1)^2 = 4W_1^2$

2. Столкновение налетающего протона с неподвижной мишенью.

Пусть налетающий протон имеет полную энергию $\text{W}$ и импульс $\text{p}$. Покоящийся протон (мишень) имеет энергию покоя $E_0$ и нулевой импульс. Квадрат инвариантной массы $s_2$ для такой системы двух частиц вычисляется по формуле:

$s_2 = (W + E_0)^2 - (pc)^2$

Используем релятивистское соотношение между энергией и импульсом для налетающего протона: $W^2 = (pc)^2 + E_0^2$. Отсюда выразим $(pc)^2 = W^2 - E_0^2$ и подставим в формулу для $s_2$:

$s_2 = (W + E_0)^2 - (W^2 - E_0^2) = W^2 + 2WE_0 + E_0^2 - W^2 + E_0^2 = 2WE_0 + 2E_0^2$

Приравнивая инварианты $s_1$ и $s_2$, получаем:

$4W_1^2 = 2WE_0 + 2E_0^2$

$2W_1^2 = WE_0 + E_0^2$

Выразим искомую энергию $\text{W}$:

$WE_0 = 2W_1^2 - E_0^2$

$W = \frac{2W_1^2 - E_0^2}{E_0} = \frac{2W_1^2}{E_0} - E_0$

Подставим числовые значения $W_1 = 70 \text{ ГэВ}$ и $E_0 \approx 0.938 \text{ ГэВ}$:

$W = \frac{2 \cdot (70 \text{ ГэВ})^2}{0.938 \text{ ГэВ}} - 0.938 \text{ ГэВ} = \frac{2 \cdot 4900 \text{ ГэВ}^2}{0.938 \text{ ГэВ}} - 0.938 \text{ ГэВ}$

$W = \frac{9800}{0.938} \text{ ГэВ} - 0.938 \text{ ГэВ} \approx 10447.8 \text{ ГэВ} - 0.938 \text{ ГэВ} \approx 10446.9 \text{ ГэВ}$

Полученная энергия значительно больше, чем в случае со встречными пучками, что иллюстрирует преимущество коллайдеров перед экспериментами с неподвижной мишенью для достижения высоких энергий взаимодействия.

Ответ: $W \approx 10447 \text{ ГэВ}$ (или $10.447 \text{ ТэВ}$).