Номер 22.4, страница 131 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.4, страница 131.

Условие.

22.4. Для калия красная граница фотоэффекта $\lambda_{\text{max}} = 0,62$ мкм. Какую максимальную скорость $\text{v}$ могут иметь фотоэлектроны, вылетающие при облучении калия фиолетовым светом с длиной волны $\lambda = 0,42$ мкм?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Красная граница фотоэффекта для калия, $ \lambda_{max} = 0,62 $ мкм

Длина волны падающего фиолетового света, $ \lambda = 0,42 $ мкм

Постоянная Планка, $ h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} $ Дж·с

Скорость света в вакууме, $ c = 3 \cdot 10^8 $ м/с

Масса электрона, $ m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31} $ кг

Перевод всех данных в систему СИ:

$ \lambda_{max} = 0,62 \text{ мкм} = 0,62 \cdot 10^{-6} $ м

$ \lambda = 0,42 \text{ мкм} = 0,42 \cdot 10^{-6} $ м

Найти:

Максимальную скорость фотоэлектронов $ v_{max} $.

Решение:

Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

$ E = A_{вых} + E_k $

где $ E $ – энергия падающего фотона, $ A_{вых} $ – работа выхода электрона, а $ E_k $ – максимальная кинетическая энергия вылетевшего фотоэлектрона.

Энергия падающего фотона определяется его длиной волны $ \lambda $:

$ E = \frac{hc}{\lambda} $

Работа выхода связана с красной границей фотоэффекта $ \lambda_{max} $ (максимальной длиной волны, при которой еще возможен фотоэффект) следующим образом:

$ A_{вых} = \frac{hc}{\lambda_{max}} $

Максимальная кинетическая энергия электрона связана с его максимальной скоростью $ v_{max} $:

$ E_k = \frac{m_e v_{max}^2}{2} $

Подставим все выражения в исходное уравнение Эйнштейна:

$ \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_{max}} + \frac{m_e v_{max}^2}{2} $

Выразим из этого уравнения член, содержащий скорость. Для этого перенесем работу выхода в левую часть:

$ \frac{m_e v_{max}^2}{2} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_{max}} $

Вынесем $ hc $ за скобки:

$ \frac{m_e v_{max}^2}{2} = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{max}} \right) $

Теперь выразим квадрат скорости, а затем и саму скорость:

$ v_{max}^2 = \frac{2hc}{m_e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{max}} \right) $

$ v_{max} = \sqrt{\frac{2hc}{m_e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{max}} \right)} $

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

$ v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}} \left( \frac{1}{0,42 \cdot 10^{-6} \text{ м}} - \frac{1}{0,62 \cdot 10^{-6} \text{ м}} \right)} $

$ v_{max} = \sqrt{\frac{3,978 \cdot 10^{-25}}{9,11 \cdot 10^{-31}} \left( \frac{1}{0,42} - \frac{1}{0,62} \right) \cdot \frac{1}{10^{-6}}} $

$ v_{max} \approx \sqrt{0,43666 \cdot 10^6 \left( 2,381 - 1,613 \right) \cdot 10^6} $

$ v_{max} \approx \sqrt{0,43666 \cdot 10^6 \cdot 0,768 \cdot 10^6} $

$ v_{max} \approx \sqrt{0,3353 \cdot 10^{12}} = \sqrt{33,53 \cdot 10^{10}} \approx 5,79 \cdot 10^5 $ м/с

Округляя до двух значащих цифр в соответствии с точностью исходных данных, получаем:

$ v_{max} \approx 5,8 \cdot 10^5 $ м/с

Ответ: максимальная скорость фотоэлектронов составляет примерно $ 5,8 \cdot 10^5 $ м/с.