Номер 22.10, страница 132 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.10, страница 132.

Условие.

22.10. Найдите длину волны $\lambda$ электромагнитного излучения, если энергия одного кванта этого излучения равна энергии покоя электрона. С какой скоростью $\text{v}$ должен двигаться электрон, чтобы его импульс был равен импульсу такого фотона? Чему равно отношение энергии $\text{W}$ движущегося с этой скоростью электрона к энергии $W_{\gamma}$ фотона?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$W_\gamma = W_0$ (энергия фотона равна энергии покоя электрона)

$p_e = p_\gamma$ (импульс электрона равен импульсу фотона)

Постоянные величины:

Масса покоя электрона $m_e = 9.11 \times 10^{-31}$ кг

Скорость света в вакууме $c = 3 \times 10^8$ м/с

Постоянная Планка $h = 6.63 \times 10^{-34}$ Дж·с

Найти:

$\lambda$ - ?

$\text{v}$ - ?

$W/W_\gamma$ - ?

Решение:

Найдите длину волны $\lambda$ электромагнитного излучения, если энергия одного кванта этого излучения равна энергии покоя электрона.

Энергия фотона (кванта излучения) $W_\gamma$ связана с его длиной волны $\lambda$ формулой Планка:

$W_\gamma = \frac{hc}{\lambda}$

Энергия покоя электрона $W_0$ определяется формулой Эйнштейна:

$W_0 = m_e c^2$

Согласно условию задачи, эти энергии равны:

$W_\gamma = W_0$

$\frac{hc}{\lambda} = m_e c^2$

Выразим из этого равенства длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{hc}{m_e c^2} = \frac{h}{m_e c}$

Эта величина известна как комптоновская длина волны электрона. Подставим числовые значения физических постоянных:

$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \mathrm{Дж \cdot c}}{9.11 \times 10^{-31} \text{ кг} \cdot 3 \times 10^8 \text{ м/с}} \approx 2.426 \times 10^{-12} \text{ м}$

Ответ: Длина волны электромагнитного излучения равна $\lambda = \frac{h}{m_e c} \approx 2.43 \times 10^{-12}$ м (или 2.43 пм).

С какой скоростью $\text{v}$ должен двигаться электрон, чтобы его импульс был равен импульсу такого фотона?

Импульс фотона $p_\gamma$ можно выразить через его энергию $W_\gamma$ или длину волны $\lambda$:

$p_\gamma = \frac{W_\gamma}{c} = \frac{h}{\lambda}$

Так как $W_\gamma = m_e c^2$, импульс фотона равен:

$p_\gamma = \frac{m_e c^2}{c} = m_e c$

Релятивистский импульс электрона $p_e$, движущегося со скоростью $\text{v}$, определяется выражением:

$p_e = \frac{m_e v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

По условию задачи, импульсы равны $p_e = p_\gamma$:

$\frac{m_e v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = m_e c$

Сократив массу $m_e$ и решив уравнение относительно $\text{v}$:

$\frac{v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = c$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{v^2}{1 - v^2/c^2} = c^2$

$v^2 = c^2(1 - v^2/c^2) = c^2 - v^2$

$2v^2 = c^2$

$v^2 = \frac{c^2}{2}$

$v = \frac{c}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}c$

Вычислим числовое значение скорости:

$v = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 3 \times 10^8 \text{ м/с} \approx 0.707 \cdot 3 \times 10^8 \text{ м/с} \approx 2.12 \times 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: Электрон должен двигаться со скоростью $v = \frac{c}{\sqrt{2}} \approx 2.12 \times 10^8$ м/с.

Чему равно отношение энергии $\text{W}$ движущегося с этой скоростью электрона к энергии $W_\gamma$ фотона?

Полная релятивистская энергия $\text{W}$ движущегося электрона равна:

$W = \frac{m_e c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Энергия фотона $W_\gamma$ по условию равна энергии покоя электрона:

$W_\gamma = W_0 = m_e c^2$

Найдем отношение этих энергий $\frac{W}{W_\gamma}$:

$\frac{W}{W_\gamma} = \frac{\frac{m_e c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}}{m_e c^2} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Из решения предыдущего пункта мы знаем, что $\frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в выражение для отношения:

$\frac{W}{W_\gamma} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}}} = \sqrt{2}$

Ответ: Отношение энергии движущегося электрона к энергии фотона равно $\frac{W}{W_\gamma} = \sqrt{2} \approx 1.41$.