Номер 22.17, страница 132 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.17, страница 132.

Условие.

22.17. Движущийся мезон распадается на два фотона, которые летят в противоположных направлениях. Какова скорость $\text{v}$ распавшегося мезона, если энергии фотонов $W_1$ и $W_2$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Энергия первого фотона: $W_1$

Энергия второго фотона: $W_2$

Скорость света в вакууме: $\text{c}$

Найти:

Скорость мезона: $\text{v}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законами сохранения энергии и импульса в релятивистской механике. Пусть мезон с массой покоя $\text{m}$ движется со скоростью $\text{v}$. Его полная энергия $\text{E}$ и импульс $\text{p}$ равны:

$E = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

$p = \frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

После распада мезона образуются два фотона с энергиями $W_1$ и $W_2$. Фотоны – безмассовые частицы, их импульс связан с энергией соотношением $p_{ф} = W/c$. По условию, фотоны летят в противоположных направлениях. Выберем систему отсчета так, чтобы ось $\text{Ox}$ совпадала с направлением движения мезона.

Запишем закон сохранения энергии:

Полная энергия мезона до распада равна сумме энергий фотонов после распада.

$E = W_1 + W_2$

Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось $\text{Ox}$:

Импульс мезона до распада равен сумме импульсов фотонов после распада. Пусть фотон с энергией $W_1$ летит в положительном направлении оси $\text{Ox}$, а фотон с энергией $W_2$ – в отрицательном. Тогда их проекции импульсов равны $p_{1x} = W_1/c$ и $p_{2x} = -W_2/c$.

$p = p_{1x} + p_{2x} = \frac{W_1}{c} - \frac{W_2}{c} = \frac{W_1 - W_2}{c}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений, связывающих характеристики мезона (энергию и импульс) с энергиями фотонов:

1) $W_1 + W_2 = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

2) $\frac{W_1 - W_2}{c} = \frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Чтобы найти скорость $\text{v}$, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{(W_1 - W_2)/c}{W_1 + W_2} = \frac{mv/\sqrt{1 - v^2/c^2}}{mc^2/\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Сократив одинаковые множители $\frac{m}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ в правой части, получим:

$\frac{W_1 - W_2}{c(W_1 + W_2)} = \frac{v}{c^2}$

Из этого соотношения выразим скорость $\text{v}$ мезона:

$v = c^2 \frac{W_1 - W_2}{c(W_1 + W_2)} = c \frac{W_1 - W_2}{W_1 + W_2}$

Скорость — это модуль вектора скорости, поэтому она должна быть неотрицательной. Знак разности $W_1 - W_2$ зависит от того, в какую сторону двигался мезон (в сторону более энергичного фотона). Поэтому для нахождения величины скорости возьмем модуль от полученного выражения:

$v = c \frac{|W_1 - W_2|}{W_1 + W_2}$

Ответ: $v = c \frac{|W_1 - W_2|}{W_1 + W_2}$