Номер 22.23, страница 133 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.23, страница 133.

Условие.

22.23. Рассматривая электрон как классическую частицу, движущуюся в атоме водорода по круговой орбите вокруг неподвижного протона, выразите скорость $\text{v}$ электрона и его механическую энергию $\text{W}$ через радиус $\text{r}$ орбиты.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Электрон с зарядом $q_e = -e$ и массой $m_e$.
Протон с зарядом $q_p = +e$.
Радиус круговой орбиты электрона - $\text{r}$.
Электрическая постоянная - $\epsilon_0$.
Протон считается неподвижным.

Найти:

Скорость электрона $v(r)$.
Механическую энергию электрона $W(r)$.

Решение:

Электрон движется по круговой орбите вокруг протона. Движение по окружности обеспечивается силой кулоновского притяжения между электроном и протоном, которая играет роль центростремительной силы.

скорость v электрона

1. Запишем выражение для силы кулоновского притяжения $F_k$ между протоном и электроном, находящимися на расстоянии $\text{r}$ друг от друга:$F_k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q_p q_e|}{r^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$

2. Эта сила является центростремительной силой $F_{цс}$, которая удерживает электрон на орбите. Центростремительная сила выражается через массу электрона $m_e$, его скорость $\text{v}$ и радиус орбиты $\text{r}$:$F_{цс} = m_e a_ц = m_e \frac{v^2}{r}$

3. Приравняем выражения для кулоновской и центростремительной сил:$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2} = m_e \frac{v^2}{r}$

4. Выразим из этого уравнения скорость $\text{v}$. Для этого сначала найдем $v^2$:$v^2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2 r}{m_e r^2} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e r}$

5. Извлекая квадратный корень, получаем итоговое выражение для скорости:$v = \sqrt{\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e r}}$

Ответ: $v = \sqrt{\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e r}}$

механическая энергия W

1. Полная механическая энергия $\text{W}$ электрона является суммой его кинетической энергии $\text{K}$ и потенциальной энергии $\text{U}$ в электростатическом поле протона:$W = K + U$

2. Кинетическая энергия $\text{K}$ определяется по формуле:$K = \frac{1}{2}m_e v^2$

Из предыдущего пункта мы знаем, что $m_e v^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$. Подставим это в выражение для кинетической энергии:$K = \frac{1}{2} \left( \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} \right) = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$

3. Потенциальная энергия $\text{U}$ взаимодействия двух точечных зарядов $q_p = +e$ и $q_e = -e$ на расстоянии $\text{r}$ равна:$U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_p q_e}{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{(+e)(-e)}{r} = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$

4. Теперь сложим кинетическую и потенциальную энергии, чтобы найти полную механическую энергию $\text{W}$:$W = K + U = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r} - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r} - \frac{2e^2}{8\pi\epsilon_0 r} = -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$

Отрицательное значение полной энергии означает, что электрон находится в связанном состоянии (не может покинуть протон без получения дополнительной энергии).

Ответ: $W = -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$