Номер 22.18, страница 133 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.18, страница 133.

Условие.

22.18*. Движущаяся нейтральная частица распалась на два фотона. Какова была скорость $\text{v}$ этой частицы, если фотоны летят под углами $\theta_1$ и $\theta_2$ к направлению движения частицы?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Движущаяся нейтральная частица распадается на два фотона.
Углы, под которыми летят фотоны к направлению движения частицы: $\theta_1$ и $\theta_2$.
Скорость света: $\text{c}$.

Найти:

Скорость частицы $\text{v}$.

Решение:

Для решения задачи применим законы сохранения энергии и импульса в релятивистской механике. Пусть до распада нейтральная частица имела энергию $\text{E}$ и импульс $\text{p}$. После распада образовались два фотона с энергиями $E_1$, $E_2$ и импульсами $p_1$, $p_2$ соответственно.

Закон сохранения энергии записывается в виде:

$E = E_1 + E_2$ (1)

Закон сохранения импульса является векторным равенством:

$\vec{p} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2$

Спроецируем это равенство на оси координат. Направим ось $\text{Ox}$ вдоль первоначального направления движения частицы. Ось $\text{Oy}$ будет перпендикулярна этому направлению. Так как суммарный импульс в перпендикулярном направлении до распада был равен нулю, он должен остаться нулевым и после распада. Это означает, что фотоны разлетаются в разные стороны от оси $\text{Ox}$.

Проекция на ось $\text{Ox}$:

$p = p_1 \cos\theta_1 + p_2 \cos\theta_2$ (2)

Проекция на ось $\text{Oy}$:

$0 = p_1 \sin\theta_1 - p_2 \sin\theta_2$

Из последнего уравнения получаем соотношение между импульсами фотонов:

$p_1 \sin\theta_1 = p_2 \sin\theta_2$ (3)

Энергия и импульс фотона связаны соотношением $E = pc$, где $\text{c}$ – скорость света. Следовательно, $p_1 = E_1/c$ и $p_2 = E_2/c$. Подставим эти выражения в уравнения (2) и (3):

$pc = E_1 \cos\theta_1 + E_2 \cos\theta_2$ (4)

$E_1 \sin\theta_1 = E_2 \sin\theta_2$ (5)

Из уравнения (5) выразим энергию второго фотона $E_2$ через энергию первого $E_1$:

$E_2 = E_1 \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}$

Теперь подставим это выражение в уравнения (1) и (4):

$E = E_1 + E_1 \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = E_1 \left(1 + \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}\right) = E_1 \frac{\sin\theta_2 + \sin\theta_1}{\sin\theta_2}$ (6)

$pc = E_1 \cos\theta_1 + E_1 \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} \cos\theta_2 = \frac{E_1}{\sin\theta_2} (\sin\theta_2 \cos\theta_1 + \sin\theta_1 \cos\theta_2)$

Применяя тригонометрическую формулу синуса суммы углов $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, упростим выражение для $\text{pc}$:

$pc = E_1 \frac{\sin(\theta_1 + \theta_2)}{\sin\theta_2}$ (7)

Скорость частицы $\text{v}$ связана с ее энергией $\text{E}$ и импульсом $\text{p}$ через фундаментальное соотношение $p = \frac{Ev}{c^2}$. Отсюда мы можем выразить искомую скорость: $v = \frac{pc^2}{E}$, или в безразмерном виде $\beta = \frac{v}{c} = \frac{pc}{E}$.

Для нахождения этого отношения разделим уравнение (7) на уравнение (6):

$\frac{v}{c} = \frac{pc}{E} = \frac{E_1 \frac{\sin(\theta_1 + \theta_2)}{\sin\theta_2}}{E_1 \frac{\sin\theta_1 + \sin\theta_2}{\sin\theta_2}}$

Сокращая общие множители $E_1$ и $\sin\theta_2$, получаем окончательное выражение для скорости:

$\frac{v}{c} = \frac{\sin(\theta_1 + \theta_2)}{\sin\theta_1 + \sin\theta_2}$

Таким образом, скорость частицы $\text{v}$ равна:

$v = c \frac{\sin(\theta_1 + \theta_2)}{\sin\theta_1 + \sin\theta_2}$

Ответ: Скорость частицы была равна $v = c \frac{\sin(\theta_1 + \theta_2)}{\sin\theta_1 + \sin\theta_2}$.