Номер 22.12, страница 132 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.12, страница 132.

Условие.

22.12. Какова должна быть частота $\nu$ излучения, чтобы в процессе взаимодействия с веществом это излучение могло вызвать рождение электрон-позитронных пар?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса покоя электрона (и позитрона), $m_e = 9.11 \times 10^{-31}$ кг

Скорость света в вакууме, $c = 3.00 \times 10^8$ м/с

Постоянная Планка, $h = 6.63 \times 10^{-34}$ Дж·с

Найти:

Минимальную частоту излучения $ν$

Решение:

Рождение электрон-позитронной пары — это процесс, в котором фотон (квант излучения), взаимодействуя с веществом, превращается в пару частица-античастица: электрон ($e^-$) и позитрон ($e^+$). Этот процесс возможен только при выполнении закона сохранения энергии.

Согласно этому закону, энергия фотона $E_{\gamma}$ должна быть не меньше, чем суммарная энергия покоя создаваемых частиц. Энергия покоя частицы с массой $\text{m}$ определяется знаменитой формулой Эйнштейна $E_0 = mc^2$.

Масса позитрона $m_p$ равна массе электрона $m_e$. Следовательно, минимальная энергия, необходимая для рождения пары, равна сумме энергий покоя электрона и позитрона:

$E_{min} = E_{e} + E_{p} = m_e c^2 + m_p c^2 = 2m_e c^2$

Если энергия фотона будет больше этой величины, то избыток энергии перейдет в кинетическую энергию рожденных электрона и позитрона.

Энергия фотона связана с его частотой $ν$ соотношением Планка:

$E_{\gamma} = hν$

Чтобы найти минимальную (пороговую) частоту излучения $ν_{min}$, при которой возможно рождение пары, нужно приравнять энергию фотона к минимальной энергии, необходимой для этого процесса:

$hν_{min} = 2m_e c^2$

Выразим из этой формулы искомую частоту:

$ν_{min} = \frac{2m_e c^2}{h}$

Теперь подставим числовые значения фундаментальных физических констант:

$ν_{min} = \frac{2 \cdot (9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3.00 \times 10^8 \text{ м/с})^2}{6.63 \times 10^{-34} \mathrm{Дж \cdot c}}$

Проведем вычисления:

$ν_{min} = \frac{2 \cdot 9.11 \times 10^{-31} \cdot 9.00 \times 10^{16}}{6.63 \times 10^{-34}} \text{ Гц} = \frac{1.6398 \times 10^{-13}}{6.63 \times 10^{-34}} \text{ Гц} \approx 2.47 \times 10^{20} \text{ Гц}$

Таким образом, для того чтобы излучение могло вызвать рождение электрон-позитронных пар, его частота должна быть не меньше найденного порогового значения.

Ответ: частота излучения $ν$ должна удовлетворять условию $ν \ge 2.47 \times 10^{20}$ Гц.