Номер 22.14, страница 132 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.14, страница 132.

Условие.

22.14**. Эффект Комптона. При взаимодействии с веществом рентгеновское излучение с длиной волны $\lambda$ рассеивается. При этом длина волны излучения, отклонившегося от первоначального направления распространения на угол $\theta$, увеличивается на $\Delta\lambda$. Выразите величину $\Delta\lambda$ через угол $\theta$, рассматривая рассеяние как результат столкновений рентгеновских фотонов с неподвижными свободными электронами. Учтите, что вследствие таких столкновений электроны приобретают скорости, сравнимые со скоростью света.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная длина волны фотона: $\lambda$
Конечная длина волны фотона: $\lambda'$
Угол рассеяния фотона: $\theta$
Начальная скорость электрона: $v_e = 0$
Масса покоя электрона: $m_e$
Постоянная Планка: $\text{h}$
Скорость света в вакууме: $\text{c}$

Найти:

$\Delta\lambda = \lambda' - \lambda$

Решение:

Рассмотрим процесс рассеяния рентгеновского фотона на свободном покоящемся электроне как упругое столкновение. Для этой системы должны выполняться законы сохранения энергии и импульса в релятивистской форме, так как электрон после столкновения может приобрести скорость, сравнимую со скоростью света.

1. Закон сохранения энергии:
Энергия системы до столкновения (фотон с энергией $E_ф$ и покоящийся электрон с энергией покоя $E_e$) равна энергии системы после столкновения (рассеянный фотон с энергией $E'_ф$ и электрон отдачи с полной релятивистской энергией $E'_e$). $E_ф + E_e = E'_ф + E'_e$ Энергия фотона связана с его длиной волны как $E = hc/\lambda$. Энергия покоящегося электрона равна $m_e c^2$. Полная энергия движущегося электрона равна $E'_e = \sqrt{(p'_e c)^2 + (m_e c^2)^2}$, где $p'_e$ — импульс электрона после столкновения. Таким образом, закон сохранения энергии имеет вид: $\frac{hc}{\lambda} + m_e c^2 = \frac{hc}{\lambda'} + \sqrt{(p'_e c)^2 + (m_e c^2)^2}$ (1)

2. Закон сохранения импульса:
Импульс системы до столкновения равен импульсу системы после столкновения. До столкновения импульс имел только фотон ($\vec{p}_ф$), так как электрон покоился. После столкновения импульс имеет как рассеянный фотон ($\vec{p}'_ф$), так и электрон отдачи ($\vec{p}'_e$). $\vec{p}_ф = \vec{p}'_ф + \vec{p}'_e$ Отсюда импульс электрона отдачи: $\vec{p}'_e = \vec{p}_ф - \vec{p}'_ф$. Возведем это векторное равенство в квадрат (скалярное произведение вектора на самого себя): $(\vec{p}'_e)^2 = (\vec{p}_ф - \vec{p}'_ф)^2 = \vec{p}_ф^2 + \vec{p}'_ф{}^2 - 2(\vec{p}_ф \cdot \vec{p}'_ф)$ Модуль импульса фотона равен $p = h/\lambda$. Скалярное произведение $\vec{p}_ф \cdot \vec{p}'_ф = p_ф p'_ф \cos\theta$, где $\theta$ — угол между направлениями движения фотона до и после рассеяния. Получаем выражение для квадрата импульса электрона: $p'_e{}^2 = (\frac{h}{\lambda})^2 + (\frac{h}{\lambda'})^2 - 2 \frac{h}{\lambda} \frac{h}{\lambda'} \cos\theta$ (2)

3. Совместное решение уравнений:
Из уравнения сохранения энергии (1) выразим член, содержащий импульс электрона: $\sqrt{(p'_e c)^2 + (m_e c^2)^2} = hc(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}) + m_e c^2$ Возведем обе части в квадрат: $(p'_e c)^2 + (m_e c^2)^2 = (hc(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}))^2 + 2hc(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'})m_e c^2 + (m_e c^2)^2$ После сокращения $(m_e c^2)^2$ и деления на $c^2$ получим еще одно выражение для $p'_e{}^2$: $p'_e{}^2 = h^2(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'})^2 + 2hm_ec(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'})$ (3)

Теперь приравняем правые части уравнений (2) и (3): $(\frac{h}{\lambda})^2 + (\frac{h}{\lambda'})^2 - \frac{2h^2}{\lambda\lambda'} \cos\theta = h^2(\frac{1}{\lambda^2} - \frac{2}{\lambda\lambda'} + \frac{1}{\lambda'^2}) + 2hm_ec(\frac{\lambda'-\lambda}{\lambda\lambda'})$ Разделим все уравнение на $h^2$: $\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2}{\lambda\lambda'} \cos\theta = \frac{1}{\lambda^2} - \frac{2}{\lambda\lambda'} + \frac{1}{\lambda'^2} + \frac{2m_ec}{h}\frac{\lambda'-\lambda}{\lambda\lambda'}$ Сократим одинаковые члены в левой и правой частях: $-\frac{2}{\lambda\lambda'} \cos\theta = -\frac{2}{\lambda\lambda'} + \frac{2m_ec}{h}\frac{\lambda'-\lambda}{\lambda\lambda'}$ Умножим обе части на $\frac{\lambda\lambda'}{2}$: $-\cos\theta = -1 + \frac{m_ec}{h}(\lambda' - \lambda)$ Перенесем -1 в левую часть: $1 - \cos\theta = \frac{m_ec}{h}(\lambda' - \lambda)$ Наконец, выразим изменение длины волны $\Delta\lambda = \lambda' - \lambda$: $\Delta\lambda = \frac{h}{m_ec}(1 - \cos\theta)$

Величина $\lambda_C = \frac{h}{m_ec} \approx 2.426 \times 10^{-12}$ м называется комптоновской длиной волны электрона.

Ответ: $\Delta\lambda = \frac{h}{m_e c} (1 - \cos\theta)$