Номер 22.20, страница 133 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.20, страница 133.

Условие.

22.20* Покоящийся $\pi$-мезон распадается на мюон и нейтрино. Какова скорость $\text{v}$ образовавшегося мюона? Масса $\pi$-мезона $m_1 = 273 m_e$, а масса мюона $m_2 = 207 m_e$, где $m_e$ — масса электрона. Считайте, что нейтрино имеет нулевую массу.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса покоя π-мезона: $m_1 = 273 m_e$

Масса покоя мюона: $m_2 = 207 m_e$

Масса покоя нейтрино: $m_ν = 0$

Начальная скорость π-мезона: $v_1 = 0$

где $m_e$ — масса покоя электрона, $\text{c}$ — скорость света в вакууме.

Найти:

$\text{v}$ — скорость образовавшегося мюона.

Решение:

Рассмотрим распад покоящегося π-мезона на мюон и нейтрино. Этот процесс должен подчиняться законам сохранения энергии и импульса в релятивистской форме.

1. Закон сохранения импульса.

Поскольку π-мезон до распада покоился, его импульс был равен нулю. Суммарный импульс системы после распада также должен быть равен нулю.

$\vec{p_1} = \vec{p_2} + \vec{p_ν}$

$0 = \vec{p_2} + \vec{p_ν}$

Отсюда следует, что импульсы мюона ($\vec{p_2}$) и нейтрино ($\vec{p_ν}$) равны по величине и противоположны по направлению:

$p_2 = p_ν = p$

2. Закон сохранения энергии.

Полная энергия системы до распада равна энергии покоя π-мезона ($E_1 = m_1c^2$). После распада полная энергия системы равна сумме полных энергий мюона ($E_2$) и нейтрино ($E_ν$).

$E_1 = E_2 + E_ν$

$m_1c^2 = E_2 + E_ν$

Полная энергия частицы связана с ее массой покоя $\text{m}$ и импульсом $\text{p}$ соотношением: $E^2 = (pc)^2 + (m c^2)^2$.

Для мюона: $E_2^2 = (pc)^2 + (m_2 c^2)^2$.

Для нейтрино, масса которого принята равной нулю ($m_ν = 0$): $E_ν^2 = (pc)^2 + 0$, откуда $E_ν = pc$.

Подставим выражение для энергии нейтрино в закон сохранения энергии:

$m_1c^2 = E_2 + pc$

Выразим отсюда энергию мюона: $E_2 = m_1c^2 - pc$.

Теперь у нас есть два выражения для энергии мюона. Возведем второе в квадрат и приравняем их:

$E_2^2 = (m_1c^2 - pc)^2 = m_1^2c^4 - 2m_1pc^3 + (pc)^2$

$(pc)^2 + (m_2c^2)^2 = m_1^2c^4 - 2m_1pc^3 + (pc)^2$

Сократим $(pc)^2$ в обеих частях уравнения:

$(m_2c^2)^2 = m_1^2c^4 - 2m_1pc^3$

$m_2^2c^4 = m_1^2c^4 - 2m_1pc^3$

Выразим из этого уравнения импульс $\text{p}$:

$2m_1pc^3 = m_1^2c^4 - m_2^2c^4$

$p = \frac{(m_1^2 - m_2^2)c^4}{2m_1c^3} = \frac{m_1^2 - m_2^2}{2m_1}c$

Чтобы найти скорость мюона $\text{v}$, воспользуемся соотношением между релятивистским импульсом $\text{p}$ и полной энергией $E_2$:

$p = \frac{m_2 v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

$E_2 = \frac{m_2 c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

Разделив одно на другое, получим: $\frac{p}{E_2} = \frac{v}{c^2}$, откуда $v = c^2 \frac{p}{E_2}$.

Найдем $E_2$ через уже известные величины:

$E_2 = m_1c^2 - pc = m_1c^2 - \frac{m_1^2 - m_2^2}{2m_1}c^2 = \frac{2m_1^2 - (m_1^2 - m_2^2)}{2m_1}c^2 = \frac{m_1^2 + m_2^2}{2m_1}c^2$

Теперь подставим выражения для $\text{p}$ и $E_2$ в формулу для скорости $\text{v}$:

$v = c^2 \frac{\frac{m_1^2 - m_2^2}{2m_1}c}{\frac{m_1^2 + m_2^2}{2m_1}c^2} = c^2 \frac{(m_1^2 - m_2^2)c}{2m_1} \cdot \frac{2m_1}{(m_1^2 + m_2^2)c^2}$

$v = c \frac{m_1^2 - m_2^2}{m_1^2 + m_2^2}$

Подставим числовые значения масс $m_1 = 273 m_e$ и $m_2 = 207 m_e$:

$v = c \frac{(273m_e)^2 - (207m_e)^2}{(273m_e)^2 + (207m_e)^2} = c \frac{m_e^2(273^2 - 207^2)}{m_e^2(273^2 + 207^2)} = c \frac{273^2 - 207^2}{273^2 + 207^2}$

$v = c \frac{74529 - 42849}{74529 + 42849} = c \frac{31680}{117378} \approx 0.270 c$

Принимая скорость света $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с, получаем:

$v \approx 0.270 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} = 0.81 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: скорость образовавшегося мюона $v \approx 0.27 c$, или $v \approx 8.1 \cdot 10^7$ м/с.