Номер 22.24, страница 133 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.24, страница 133.

Условие.

22.24. Когда атом водорода находится в основном со-стоянии, де-бройлевская длина волны электрона как раз совпа-дает с длиной его «траектории». Пользуясь полученными в зада-че 22.23 результатами, найдите радиус $\text{r}$ «орбиты» электрона,Вычислите также энергию ионизации $W_i$, т. е. энергию, кото-рую необходимо сообщить электрону, чтобы он покинул атом.Величину $W_i$ выразите в электронвольтах.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Атом водорода в основном состоянии.

Длина волны де Бройля электрона $\lambda$ совпадает с длиной его траектории $\text{L}$.

$\lambda = L = 2\pi r$, где $\text{r}$ - радиус орбиты.

Постоянная Планка, $h = 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с.

Масса электрона, $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг.

Элементарный заряд, $e = 1.602 \cdot 10^{-19}$ Кл.

Электрическая постоянная, $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 8.99 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл².

Найти:

Радиус орбиты $\text{r}$ - ?

Энергия ионизации $W_i$ в эВ - ?

Решение:

Найдите радиус r «орбиты» электрона

По условию задачи, длина волны де Бройля электрона $\lambda$ равна длине его круговой орбиты $L=2\pi r$:

$\lambda = 2\pi r$

Длина волны де Бройля для частицы с импульсом $p = m_e v$ определяется формулой:

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m_e v}$

Приравнивая два выражения для $\lambda$, получаем:

$\frac{h}{m_e v} = 2\pi r$

Отсюда можно выразить скорость электрона $\text{v}$:

$v = \frac{h}{2\pi m_e r}$

Движение электрона по круговой орбите вокруг протона происходит под действием кулоновской силы, которая является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{\text{кулон}} = F_{\text{центростр.}}$

$k\frac{e^2}{r^2} = m_e \frac{v^2}{r}$

Из этого уравнения следует:

$m_e v^2 = k\frac{e^2}{r}$

Подставим в это уравнение выражение для скорости $\text{v}$, полученное из условия задачи:

$m_e \left(\frac{h}{2\pi m_e r}\right)^2 = k\frac{e^2}{r}$

$m_e \frac{h^2}{4\pi^2 m_e^2 r^2} = k\frac{e^2}{r}$

Сокращаем $m_e$ и $\text{r}$ в обеих частях уравнения и выражаем радиус $\text{r}$:

$\frac{h^2}{4\pi^2 m_e r} = k e^2$

$r = \frac{h^2}{4\pi^2 m_e k e^2}$

Подставим численные значения констант в системе СИ:

$r = \frac{(6.626 \cdot 10^{-34})^2}{4\pi^2 \cdot (9.11 \cdot 10^{-31}) \cdot (8.99 \cdot 10^9) \cdot (1.602 \cdot 10^{-19})^2} \approx \frac{43.90 \cdot 10^{-68}}{4 \cdot 9.87 \cdot 9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 8.99 \cdot 10^9 \cdot 2.566 \cdot 10^{-38}}$

$r \approx \frac{43.90 \cdot 10^{-68}}{8288 \cdot 10^{-60}} \approx 0.0053 \cdot 10^{-8} \text{ м} = 5.3 \cdot 10^{-11} \text{ м}$.

Это значение известно как боровский радиус.

Ответ: радиус орбиты электрона $r \approx 5.3 \cdot 10^{-11} \text{ м}$.

Вычислите также энергию ионизации $W_i$

Энергия ионизации $W_i$ - это энергия, которую необходимо сообщить электрону, чтобы он покинул атом. Она равна по модулю и противоположна по знаку полной энергии электрона $\text{E}$ в атоме. Полная энергия электрона на орбите складывается из его кинетической энергии $W_k$ и потенциальной энергии $W_p$ в кулоновском поле ядра:

$E = W_k + W_p = \frac{m_e v^2}{2} - k\frac{e^2}{r}$

Как мы нашли ранее из уравнения динамики, $m_e v^2 = k\frac{e^2}{r}$. Подставим это выражение в формулу для полной энергии:

$E = \frac{1}{2}\left(k\frac{e^2}{r}\right) - k\frac{e^2}{r} = -\frac{1}{2}k\frac{e^2}{r}$

Энергия ионизации равна полной энергии связи, взятой с противоположным знаком:

$W_i = -E = \frac{1}{2}k\frac{e^2}{r}$

Подставим численные значения и ранее найденное значение радиуса $\text{r}$:

$W_i = \frac{1}{2} \cdot (8.99 \cdot 10^9 \mathrm{Н \cdot м²/Кл²}) \frac{(1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})^2}{5.3 \cdot 10^{-11} \text{ м}} \approx \frac{1}{2} \cdot (8.99 \cdot 10^9) \frac{2.566 \cdot 10^{-38}}{5.3 \cdot 10^{-11}} \text{ Дж}$

$W_i \approx \frac{23.07 \cdot 10^{-29}}{10.6 \cdot 10^{-11}} \text{ Дж} \approx 2.18 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Для выражения этой энергии в электронвольтах (эВ), разделим полученное значение на величину элементарного заряда $\text{e}$ (так как $1 \text{ эВ} = 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$):

$W_i (\text{эВ}) = \frac{W_i (\text{Дж})}{e} = \frac{2.18 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}{1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ}} \approx 13.6 \text{ эВ}$

Ответ: энергия ионизации $W_i \approx 13.6 \text{ эВ}$.