Номер 22.28, страница 134 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.28, страница 134.

Условие.

22.28. Вычислите энергию связи $E_{\text{св}}$ и удельную энергию связи $E_{\text{св}}/A$ для ядер $^{7}_{3}\text{Li}$ и $^{27}_{13}\text{Al}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Ядро лития $^{7}_{3}\text{Li}$

Ядро алюминия $^{27}_{13}\text{Al}$

Масса атома водорода, $m_H = 1.00783 \text{ а.е.м.}$

Масса нейтрона, $m_n = 1.00866 \text{ а.е.м.}$

Масса атома лития, $M_a(^{7}_{3}\text{Li}) = 7.01600 \text{ а.е.м.}$

Масса атома алюминия, $M_a(^{27}_{13}\text{Al}) = 26.98154 \text{ а.е.м.}$

Энергетический эквивалент атомной единицы массы: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 = 931.5 \text{ МэВ}$

Найти:

$E_{св}(^{7}\text{Li})$, $E_{св}/A(^{7}\text{Li})$ - ?

$E_{св}(^{27}\text{Al})$, $E_{св}/A(^{27}\text{Al})$ - ?

Решение:

Энергия связи ядра $E_{св}$ — это энергия, которая выделяется при образовании ядра из составляющих его свободных нуклонов. Она определяется дефектом масс $\Delta m$ по формуле Эйнштейна:

$E_{св} = \Delta m \cdot c^2$

Дефект масс — это разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов), из которых состоит ядро, и массой самого ядра. Для удобства вычислений используют массы атомов, а не ядер. Формула для дефекта масс в этом случае имеет вид:

$\Delta m = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - M_{a}$

где $\text{Z}$ — число протонов в ядре, $\text{N}$ — число нейтронов, $A = Z+N$ — массовое число, $m_H$ — масса атома водорода, $m_n$ — масса нейтрона, а $M_{a}$ — масса атома данного изотопа.

Удельная энергия связи — это энергия связи, приходящаяся на один нуклон в ядре:

$E_{уд} = \frac{E_{св}}{A}$

Для ядра $^{7}_{3}\text{Li}$

1. Определим состав ядра: число протонов $Z=3$, массовое число $A=7$. Число нейтронов $N = A - Z = 7 - 3 = 4$.

2. Рассчитаем дефект масс $\Delta m$ для ядра лития:

$\Delta m = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - M_a(^{7}_{3}\text{Li})$

$\Delta m = (3 \cdot 1.00783 \text{ а.е.м.} + 4 \cdot 1.00866 \text{ а.е.м.}) - 7.01600 \text{ а.е.м.}$

$\Delta m = (3.02349 \text{ а.е.м.} + 4.03464 \text{ а.е.м.}) - 7.01600 \text{ а.е.м.} = 7.05813 \text{ а.е.м.} - 7.01600 \text{ а.е.м.} = 0.04213 \text{ а.е.м.}$

3. Вычислим энергию связи $E_{св}$:

$E_{св} = \Delta m \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} = 0.04213 \text{ а.е.м.} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 39.24 \text{ МэВ}$

4. Вычислим удельную энергию связи $E_{св}/A$:

$\frac{E_{св}}{A} = \frac{39.24 \text{ МэВ}}{7} \approx 5.61 \text{ МэВ/нуклон}$

Ответ: для ядра $^{7}_{3}\text{Li}$ энергия связи $E_{св} \approx 39.24 \text{ МэВ}$, удельная энергия связи $E_{св}/A \approx 5.61 \text{ МэВ/нуклон}$.

Для ядра $^{27}_{13}\text{Al}$

1. Определим состав ядра: число протонов $Z=13$, массовое число $A=27$. Число нейтронов $N = A - Z = 27 - 13 = 14$.

2. Рассчитаем дефект масс $\Delta m$ для ядра алюминия:

$\Delta m = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - M_a(^{27}_{13}\text{Al})$

$\Delta m = (13 \cdot 1.00783 \text{ а.е.м.} + 14 \cdot 1.00866 \text{ а.е.м.}) - 26.98154 \text{ а.е.м.}$

$\Delta m = (13.10179 \text{ а.е.м.} + 14.12124 \text{ а.е.м.}) - 26.98154 \text{ а.е.м.} = 27.22303 \text{ а.е.м.} - 26.98154 \text{ а.е.м.} = 0.24149 \text{ а.е.м.}$

3. Вычислим энергию связи $E_{св}$:

$E_{св} = \Delta m \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} = 0.24149 \text{ а.е.м.} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 224.95 \text{ МэВ}$

4. Вычислим удельную энергию связи $E_{св}/A$:

$\frac{E_{св}}{A} = \frac{224.95 \text{ МэВ}}{27} \approx 8.33 \text{ МэВ/нуклон}$

Ответ: для ядра $^{27}_{13}\text{Al}$ энергия связи $E_{св} \approx 224.95 \text{ МэВ}$, удельная энергия связи $E_{св}/A \approx 8.33 \text{ МэВ/нуклон}$.