Номер 22.31, страница 134 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.31, страница 134.

Условие.

22.31. Какую массу $m_{\text{В}}$ воды, взятой при $0 \text{ °C}$, можно довести до кипения, используя энергию термоядерного синтеза гелия из дейтерия и трития (см. задачу 22.30), если КПД преобразования энергии равен $10\%$? Масса синтезированного гелия $m = 1 \text{ г}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$t_{1} = 0$ °C (начальная температура воды)

$t_{2} = 100$ °C (температура кипения воды)

$m_{He} = 1$ г

$\eta = 10\%$

$c_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$ (удельная теплоемкость воды)

$M_{He} \approx 4$ г/моль (молярная масса гелия)

$N_A = 6.02 \cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$ (число Авогадро)

Перевод в СИ:

$m_{He} = 1 \cdot 10^{-3}$ кг

$\eta = 0.1$

$M_{He} \approx 4 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Найти:

$m_в$ - ?

Решение:

1. Запишем уравнение реакции термоядерного синтеза гелия из дейтерия и трития, как указано в условии (см. задачу 22.30):

$$ {_1^2}H + {_1^3}H \rightarrow {_2^4}He + {_0^1}n $$

2. Рассчитаем энергию $\Delta E$, выделяющуюся в результате одной такой реакции. Эта энергия соответствует дефекту масс $\Delta m$.

$\Delta m = (m({_1^2}H) + m({_1^3}H)) - (m({_2^4}He) + m({_0^1}n))$

Используем табличные значения масс частиц в атомных единицах массы (а.е.м.):

$m({_1^2}H) \approx 2.01410$ а.е.м.

$m({_1^3}H) \approx 3.01605$ а.е.м.

$m({_2^4}He) \approx 4.00260$ а.е.м.

$m({_0^1}n) \approx 1.00866$ а.е.м.

$\Delta m = (2.01410 + 3.01605) - (4.00260 + 1.00866) = 5.03015 - 5.01126 = 0.01889$ а.е.м.

Энергетический эквивалент 1 а.е.м. равен $931.5$ МэВ. Тогда выделившаяся энергия:

$\Delta E = 0.01889 \text{ а.е.м.} \cdot 931.5 \frac{МэВ}{а.е.м.} \approx 17.6$ МэВ

Переведем энергию в систему СИ (Джоули), зная, что $1 \text{ МэВ} = 1.6 \cdot 10^{-13}$ Дж:

$\Delta E = 17.6 \cdot 1.6 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} \approx 2.816 \cdot 10^{-12}$ Дж

3. Найдем общее число $\text{N}$ ядер гелия в массе $m_{He} = 1$ г. Это число будет равно числу термоядерных реакций.

$N = \frac{m_{He}}{M_{He}} \cdot N_A$

$N = \frac{1 \text{ г}}{4 \text{ г/моль}} \cdot 6.02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} = 1.505 \cdot 10^{23}$

4. Вычислим полную энергию $E_{полн}$, которая выделяется при синтезе 1 г гелия:

$E_{полн} = N \cdot \Delta E = 1.505 \cdot 10^{23} \cdot 2.816 \cdot 10^{-12} \text{ Дж} \approx 4.238 \cdot 10^{11}$ Дж

5. Найдем полезную энергию $E_{полезн}$, которая идет на нагрев воды, с учетом КПД $\eta = 10\%$:

$E_{полезн} = E_{полн} \cdot \eta = 4.238 \cdot 10^{11} \text{ Дж} \cdot 0.1 = 4.238 \cdot 10^{10}$ Дж

6. Количество теплоты $\text{Q}$, необходимое для нагревания массы воды $m_в$ от $t_1 = 0$ °C до температуры кипения $t_2 = 100$ °C, определяется по формуле:

$Q = c_в \cdot m_в \cdot (t_2 - t_1)$

7. Полезная энергия термоядерного синтеза полностью расходуется на нагрев воды, следовательно, $E_{полезн} = Q$. Отсюда выразим искомую массу воды $m_в$:

$m_в = \frac{E_{полезн}}{c_в \cdot (t_2 - t_1)}$

$m_в = \frac{4.238 \cdot 10^{10} \text{ Дж}}{4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot (100 - 0) °C} = \frac{4.238 \cdot 10^{10}}{4.2 \cdot 10^5} \text{ кг} \approx 1.009 \cdot 10^5$ кг

Округляя результат, получаем, что масса воды примерно равна $1.01 \cdot 10^5$ кг или 101 тонне.

Ответ: $m_в \approx 1.01 \cdot 10^5$ кг.