Номер 22.37, страница 134 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.37, страница 134.

Условие.

22.37**. Ионы дейтерия (дейтроны), ускоренные до энергии $W_1 = 2,0 \text{ МэВ}$, направляют на тритиевую мишень. В результате реакции синтеза (см. задачу 22.30) из мишени вылетают нейтроны. Какова кинетическая энергия $W_2$ тех нейтронов, которые вылетают перпендикулярно пучку дейтронов?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Кинетическая энергия ионов дейтерия (дейтронов) $W_1 = 2,0 \text{ МэВ}$.

Реакция синтеза: $^{2}_{1}\text{H} + ^{3}_{1}\text{H} \rightarrow ^{4}_{2}\text{He} + ^{1}_{0}n$.

Мишень (тритий, $^{3}_{1}\text{H}$) покоится.

Нейтрон ($^{1}_{0}n$) вылетает перпендикулярно направлению движения дейтрона.

Массы частиц:

Масса дейтрона: $m_d \approx 2,0141 \text{ а.е.м.}$

Масса ядра трития: $m_t \approx 3,0160 \text{ а.е.м.}$

Масса альфа-частицы ($^{4}_{2}\text{He}$): $m_\alpha \approx 4,0026 \text{ а.е.м.}$

Масса нейтрона: $m_n \approx 1,0087 \text{ а.е.м.}$

Перевод в систему СИ:

$W_1 = 2,0 \text{ МэВ} = 2,0 \cdot 10^6 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 3,204 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$.

$1 \text{ а.е.м.} = 1,6605 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$.

$m_d \approx 3,3445 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$.

$m_t \approx 5,0082 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$.

$m_\alpha \approx 6,6465 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$.

$m_n \approx 1,6749 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$.

Найти:

Кинетическую энергию нейтрона $W_2$ (обозначим ее $W_n$).

Решение:

Запишем уравнение реакции синтеза:

$^{2}_{1}\text{H} + ^{3}_{1}\text{H} \rightarrow ^{4}_{2}\text{He} + ^{1}_{0}n$

При решении задач ядерной физики расчеты удобнее проводить в атомных единицах массы (а.е.м.) и мегаэлектронвольтах (МэВ).

Сначала определим энергетический выход реакции $\text{Q}$. Он равен разности масс покоя начальных и конечных частиц, умноженной на $c^2$.

$Q = (m_d + m_t - m_\alpha - m_n)c^2$

Используем переводной коэффициент $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 \approx 931,5 \text{ МэВ}$.

$Q = (2,0141 + 3,0160 - 4,0026 - 1,0087) \cdot 931,5 \text{ МэВ} = 0,0188 \cdot 931,5 \text{ МэВ} \approx 17,51 \text{ МэВ}$.

Для решения задачи используем законы сохранения энергии и импульса. Так как кинетические энергии частиц значительно меньше их энергий покоя, можно использовать нерелятивистские формулы.

1. Закон сохранения энергии:

Сумма начальных энергий (кинетическая энергия дейтрона $W_1$ и энергии покоя) равна сумме конечных энергий (кинетические энергии альфа-частицы $W_\alpha$ и нейтрона $W_n$ и их энергии покоя).

$W_1 + (m_d + m_t)c^2 = W_\alpha + W_n + (m_\alpha + m_n)c^2$

Перегруппировав, получим:

$W_1 + (m_d + m_t - m_\alpha - m_n)c^2 = W_\alpha + W_n$

$W_1 + Q = W_\alpha + W_n$ (1)

2. Закон сохранения импульса:

Векторная сумма импульсов до реакции равна векторной сумме импульсов после реакции. Начальный импульс имеет только дейтрон, так как мишень покоится.

$\vec{p}_d = \vec{p}_\alpha + \vec{p}_n$

По условию, нейтрон вылетает перпендикулярно пучку дейтронов. Направим ось X вдоль первоначального движения дейтрона, а ось Y — в направлении вылета нейтрона. Тогда векторы импульсов можно представить в виде треугольника, где $\vec{p}_d$ и $\vec{p}_n$ — катеты, а $\vec{p}_\alpha$ — гипотенуза.

Из теоремы Пифагора для импульсов следует:

$p_\alpha^2 = p_d^2 + p_n^2$

Связь между кинетической энергией и импульсом в нерелятивистском случае: $p^2 = 2mW$. Подставим это соотношение в уравнение для импульсов:

$2m_\alpha W_\alpha = 2m_d W_1 + 2m_n W_n$

$m_\alpha W_\alpha = m_d W_1 + m_n W_n$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($W_\alpha$ и $W_n$).

$\begin{cases} W_1 + Q = W_\alpha + W_n \\ m_\alpha W_\alpha = m_d W_1 + m_n W_n \end{cases}$

Выразим $W_\alpha$ из первого уравнения и подставим во второе:

$W_\alpha = W_1 + Q - W_n$

$m_\alpha (W_1 + Q - W_n) = m_d W_1 + m_n W_n$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с искомой величиной $W_n$:

$m_\alpha W_1 + m_\alpha Q - m_\alpha W_n = m_d W_1 + m_n W_n$

$m_\alpha W_1 - m_d W_1 + m_\alpha Q = m_n W_n + m_\alpha W_n$

$(m_\alpha - m_d) W_1 + m_\alpha Q = (m_\alpha + m_n) W_n$

Отсюда находим кинетическую энергию нейтрона $W_n$:

$W_n = \frac{(m_\alpha - m_d) W_1 + m_\alpha Q}{m_\alpha + m_n}$

Подставим числовые значения. Для простоты можно использовать массы, выраженные в а.е.м., так как отношения масс будут такими же, как и в кг.

$W_n = \frac{(4,0026 - 2,0141) \cdot 2,0 \text{ МэВ} + 4,0026 \cdot 17,51 \text{ МэВ}}{4,0026 + 1,0087}$

$W_n = \frac{1,9885 \cdot 2,0 \text{ МэВ} + 70,0855 \text{ МэВ}}{5,0113}$

$W_n = \frac{3,977 \text{ МэВ} + 70,0855 \text{ МэВ}}{5,0113} = \frac{74,0625 \text{ МэВ}}{5,0113} \approx 14,78 \text{ МэВ}$

Ответ: $W_2 \approx 14,8 \text{ МэВ}$.