Номер 22.42, страница 135 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.42, страница 135.

Условие.

22.42*. Образец, содержащий $m = 1,0$ мг $^{210}_{84}\text{Po}$, помещен в калориметр с теплоемкостью $C = 8,0$ Дж/К. В результате $\alpha$-распада полоний превращается в свинец $^{206}_{82}\text{Pb}$. На сколько поднимется температура в калориметре за время $\tau = 1$ ч? Масса атома $^{210}_{84}\text{Po}$ равна $209,98287$ а.е.м., масса атома $^{206}_{82}\text{Pb}$ равна $205,97447$ а.е.м. Период полураспада полония $T = 138$ сут. Считайте, что $\alpha$-частицы не вылетают за пределы калориметра.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса образца полония-210, $m = 1,0 \text{ мг} = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$
Теплоемкость калориметра, $C = 8,0 \text{ Дж/К}$
Время наблюдения, $\tau = 1 \text{ ч} = 3600 \text{ с}$
Период полураспада $^{210}\text{Po}$, $T = 138 \text{ сут} = 138 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 11923200 \text{ с}$
Масса атома $^{210}\text{Po}$, $M_{Po} = 209,98287 \text{ а.е.м.}$
Масса атома $^{206}\text{Pb}$, $M_{Pb} = 205,97447 \text{ а.е.м.}$
Масса $\alpha$-частицы ($^{4}\text{He}$), $M_{\alpha} \approx 4,00260 \text{ а.е.м.}$
Молярная масса $^{210}\text{Po}$, $\mu \approx 210 \text{ г/моль} = 0,210 \text{ кг/моль}$
Число Авогадро, $N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$
Энергетический эквивалент 1 а.е.м., $E_{а.е.м.} \approx 931,5 \text{ МэВ}$
$1 \text{ МэВ} = 1,602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Найти:

Изменение температуры в калориметре, $\Delta T$.

Решение:

При $\alpha$-распаде полония-210 образуется свинец-206 и $\alpha$-частица (ядро гелия). Энергия, выделяющаяся при каждом акте распада, поглощается калориметром, вызывая его нагревание. Решение задачи состоит из нескольких шагов:

1. Расчет энергии одного распада.
Уравнение реакции: $_{84}^{210}\text{Po} \rightarrow _{82}^{206}\text{Pb} + _{2}^{4}\text{He}$.
Энергия $E_1$, выделяющаяся при одном акте распада, определяется дефектом масс $\Delta m$:
$\Delta m = M_{Po} - (M_{Pb} + M_{\alpha})$
$\Delta m = 209,98287 - (205,97447 + 4,00260) = 0,0058 \text{ а.е.м.}$
Энергию можно рассчитать по формуле $E_1 = \Delta m \cdot c^2$ или используя энергетический эквивалент атомной единицы массы:
$E_1 = 0,0058 \text{ а.е.м.} \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 5,40 \text{ МэВ}$
Переведем энергию в систему СИ (джоули):
$E_1 = 5,40 \text{ МэВ} \cdot 1,602 \cdot 10^{-13} \frac{\text{Дж}}{\text{МэВ}} \approx 8,65 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

2. Расчет числа распавшихся ядер.
Сначала найдем начальное число ядер полония $N_0$ в образце:
$N_0 = \frac{m}{\mu} N_A = \frac{1,0 \cdot 10^{-6} \text{ кг}}{0,210 \text{ кг/моль}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 2,87 \cdot 10^{18}$
Число распавшихся за время $\tau$ ядер $\Delta N$ определяется законом радиоактивного распада. Постоянная распада $\lambda$ связана с периодом полураспада $\text{T}$:
$\lambda = \frac{\ln 2}{T} = \frac{0,693}{11923200 \text{ с}} \approx 5,81 \cdot 10^{-8} \text{ с}^{-1}$
Поскольку время наблюдения $\tau = 3600 \text{ с}$ значительно меньше периода полураспада $\text{T}$, число распавшихся ядер можно найти по приближенной формуле:
$\Delta N \approx \lambda N_0 \tau$
$\Delta N \approx (5,81 \cdot 10^{-8} \text{ с}^{-1}) \cdot (2,87 \cdot 10^{18}) \cdot 3600 \text{ с} \approx 6,00 \cdot 10^{14}$

3. Расчет выделившейся теплоты.
Общее количество теплоты $\text{Q}$, выделившееся в калориметре, равно произведению числа распавшихся ядер на энергию одного распада:
$Q = \Delta N \cdot E_1$
$Q = (6,00 \cdot 10^{14}) \cdot (8,65 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}) \approx 519 \text{ Дж}$

4. Расчет изменения температуры.
Изменение температуры калориметра $\Delta T$ связано с поглощенной теплотой $\text{Q}$ и теплоемкостью калориметра $\text{C}$:
$Q = C \cdot \Delta T$
$\Delta T = \frac{Q}{C} = \frac{519 \text{ Дж}}{8,0 \text{ Дж/К}} \approx 64,9 \text{ К}$
С учетом точности исходных данных, округляем результат до двух значащих цифр.

Ответ: $65 \text{ К}$.