Номер 22.35, страница 134 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.35, страница 134.

Условие.

22.35**. Найдите минимальную кинетическую энергию $W_k$ протона, способного «разбить» ядро дейтерия на протон и нейтрон.

Решение.

Решение 2.

Дано

Масса протона: $m_p = 1.007276$ а.е.м.

Масса нейтрона: $m_n = 1.008665$ а.е.м.

Масса атома дейтерия: $M(_1^2H) = 2.014102$ а.е.м.

Масса атома водорода: $M(_1^1H) = 1.007825$ а.е.м.

Масса электрона: $m_e = 0.000549$ а.е.м.

Энергетический эквивалент атомной единицы массы: $c^2 \cdot 1 \text{ а.е.м.} = 931.5 \text{ МэВ}$

Ядро дейтерия в начальный момент покоится.

Найти:

$W_{k}$ — минимальную кинетическую энергию протона.

Решение

Реакция расщепления ядра дейтерия протоном записывается следующим образом:

$p + d \rightarrow p + p + n$

где $\text{p}$ — протон, $\text{d}$ — ядро дейтерия (дейтрон), $\text{n}$ — нейтрон.

Для того чтобы реакция произошла, начальная энергия системы должна быть достаточной для преодоления энергии связи ядра дейтерия. Эта реакция является эндотермической, то есть она идет с поглощением энергии. Минимальная энергия, необходимая для разделения ядра на составляющие его нуклоны, называется энергией связи $W_{св}$.

1. Расчет энергии связи ядра дейтерия.

Энергия связи определяется дефектом масс $\Delta m$ по формуле Эйнштейна $W_{св} = \Delta m \cdot c^2$. Дефект масс — это разница между суммой масс свободных нуклонов (протона и нейтрона) и массой ядра.

$\Delta m = (m_p + m_n) - m_d$

Для более точного расчета удобно использовать массы атомов, так как массы электронов сокращаются. Масса атома водорода $M(_1^1H) = m_p + m_e$, масса атома дейтерия $M(_1^2H) = m_d + m_e$.

$\Delta m = (M(_1^1H) - m_e + m_n) - (M(_1^2H) - m_e) = M(_1^1H) + m_n - M(_1^2H)$

Подставим числовые значения:

$\Delta m = 1.007825 \text{ а.е.м.} + 1.008665 \text{ а.е.м.} - 2.014102 \text{ а.е.м.} = 0.002388 \text{ а.е.м.}$

Теперь найдем энергию связи в МэВ:

$W_{св} = 0.002388 \text{ а.е.м.} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 2.224 \text{ МэВ}$

2. Определение минимальной кинетической энергии протона.

Кинетическая энергия налетающего протона $W_k$ должна не только покрыть энергию связи $W_{св}$, но и обеспечить выполнение закона сохранения импульса. После реакции образовавшиеся частицы (два протона и нейтрон) будут обладать некоторой суммарной кинетической энергией.

Минимальная энергия $W_k$ соответствует пороговой энергии реакции. В этом случае все конечные частицы движутся вместе с одинаковой скоростью, как единое целое. То есть, их относительная кинетическая энергия равна нулю.

Рассмотрим задачу в системе центра масс (СЦМ). В этой системе суммарный импульс системы до и после реакции равен нулю. Энергия, которая может пойти на осуществление реакции, — это кинетическая энергия частиц в СЦМ, $W_{к, СЦМ}$. Кинетическая энергия движения самого центра масс не может быть использована для реакции.

В пороговом случае вся кинетическая энергия в СЦМ идет на преодоление энергии связи, а конечные частицы в СЦМ покоятся. Таким образом, в СЦМ выполняется условие:

$W_{к, СЦМ} = W_{св}$

Теперь найдем связь между кинетической энергией протона в лабораторной системе отсчета ($W_k$) и кинетической энергией системы в СЦМ ($W_{к, СЦМ}$). Для системы из налетающей частицы с массой $m_p$ и покоящейся мишени с массой $m_d$ эта связь выражается формулой:

$W_{к, СЦМ} = W_k \frac{m_d}{m_p + m_d}$

Приравнивая два выражения для $W_{к, СЦМ}$, получаем уравнение для минимальной (пороговой) энергии протона $W_k$:

$W_{св} = W_k \frac{m_d}{m_p + m_d}$

Отсюда находим $W_k$:

$W_k = W_{св} \frac{m_p + m_d}{m_d}$

Для расчета нам потребуются массы ядер протона ($m_p$) и дейтерия ($m_d$). Массу ядра дейтерия найдем, вычитая массу электрона из массы атома дейтерия:

$m_d = M(_1^2H) - m_e = 2.014102 \text{ а.е.м.} - 0.000549 \text{ а.е.м.} = 2.013553 \text{ а.е.м.}$

Подставим числовые значения в формулу для $W_k$:

$W_k = 2.224 \text{ МэВ} \cdot \frac{1.007276 \text{ а.е.м.} + 2.013553 \text{ а.е.м.}}{2.013553 \text{ а.е.м.}}$

$W_k = 2.224 \text{ МэВ} \cdot \frac{3.020829}{2.013553} \approx 2.224 \text{ МэВ} \cdot 1.50024 \approx 3.337 \text{ МэВ}$

Ответ: Минимальная кинетическая энергия протона, способного «разбить» ядро дейтерия, составляет $W_k \approx 3.34 \text{ МэВ}$.