Номер 22.38, страница 134 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.38, страница 134.

Условие.

22.38**. Мишень из $_{3}^{6}\text{Li}$ подвергают бомбардировке нейтронами. Какова кинетическая энергия $W_n$ этих нейтронов, если в направлении движения нейтронов вылетают $\alpha$-частицы с кинетической энергией $W_\alpha = 3,0 \text{ МэВ}$? Энергией испускаемых $\gamma$-квантов можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано

Мишень: ${}^{6}_{3}Li$

Бомбардирующая частица: нейтрон ($\text{n}$)

Продукт реакции: $\alpha$-частица (${}^{4}_{2}He$)

Кинетическая энергия $\alpha$-частицы: $W_\alpha = 3,0 \text{ МэВ}$

Направление вылета $\alpha$-частицы совпадает с направлением движения нейтрона.

Энергией $\gamma$-квантов пренебречь.

$W_\alpha = 3,0 \text{ МэВ} = 3,0 \cdot 1,602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} = 4,806 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Найти:

Кинетическая энергия нейтрона $W_n$.

Решение

Запишем уравнение ядерной реакции. Нейтрон (${}^{1}_{0}n$) сталкивается с ядром лития (${}^{6}_{3}Li$), в результате чего образуется $\alpha$-частица (${}^{4}_{2}He$) и неизвестное ядро ${}^{A}_{Z}X$.

${}^{1}_{0}n + {}^{6}_{3}Li \rightarrow {}^{4}_{2}He + {}^{A}_{Z}X$

Согласно законам сохранения зарядового и массового чисел:

1. Сохранение массового числа (A): $1 + 6 = 4 + A \Rightarrow A = 3$

2. Сохранение зарядового числа (Z): $0 + 3 = 2 + Z \Rightarrow Z = 1$

Ядро с зарядовым числом $Z=1$ и массовым числом $A=3$ является ядром трития ${}^{3}_{1}H$.

Таким образом, полное уравнение реакции:

${}^{1}_{0}n + {}^{6}_{3}Li \rightarrow {}^{4}_{2}He + {}^{3}_{1}H$

Для решения задачи используем законы сохранения энергии и импульса. Будем считать, что ядро лития до столкновения покоилось.

Закон сохранения энергии:

$W_n + (m_n + m_{Li})c^2 = W_\alpha + W_H + (m_\alpha + m_H)c^2$

где $W_n, W_\alpha, W_H$ — кинетические энергии нейтрона, $\alpha$-частицы и трития соответственно; $m_n, m_{Li}, m_\alpha, m_H$ — их массы покоя.

Перегруппируем уравнение, введя энергию реакции $\text{Q}$:

$W_n + Q = W_\alpha + W_H$ (1)

где $Q = (m_n + m_{Li} - m_\alpha - m_H)c^2$.

Вычислим энергию реакции $\text{Q}$, используя точные значения масс:

$m_n = 1.008665 \text{ а.е.м.}$

$m(^{6}Li) = 6.015122 \text{ а.е.м.}$

$m(^{4}He) = 4.002603 \text{ а.е.м.}$

$m(^{3}H) = 3.016049 \text{ а.е.м.}$

Дефект масс $\Delta m = (m_n + m_{Li}) - (m_\alpha + m_H) = (1.008665 + 6.015122) - (4.002603 + 3.016049) = 7.023787 - 7.018652 = 0.005135 \text{ а.е.м.}$

Энергия реакции $Q = \Delta m \cdot c^2 = 0.005135 \text{ а.е.м.} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 4.783 \text{ МэВ}$.

Закон сохранения импульса. Поскольку $\alpha$-частица вылетает в направлении движения нейтрона, то и ядро трития, по закону сохранения импульса, должно двигаться в том же направлении.

$p_n = p_\alpha + p_H$

Используя связь между импульсом и кинетической энергией $p=\sqrt{2mW}$, получим:

$\sqrt{2m_n W_n} = \sqrt{2m_\alpha W_\alpha} + \sqrt{2m_H W_H}$

$\sqrt{m_n W_n} = \sqrt{m_\alpha W_\alpha} + \sqrt{m_H W_H}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $W_n$ и $W_H$. Выразим $W_H$ из уравнения (1) и подставим в (2).

$W_H = W_n + Q - W_\alpha$

$\sqrt{m_n W_n} = \sqrt{m_\alpha W_\alpha} + \sqrt{m_H (W_n + Q - W_\alpha)}$

Перенесем член с $\alpha$-частицей влево и возведем в квадрат:

$(\sqrt{m_n W_n} - \sqrt{m_\alpha W_\alpha})^2 = m_H (W_n + Q - W_\alpha)$

$m_n W_n - 2\sqrt{m_n m_\alpha W_n W_\alpha} + m_\alpha W_\alpha = m_H W_n + m_H Q - m_H W_\alpha$

Сгруппируем члены относительно $W_n$ и $\sqrt{W_n}$:

$(m_H - m_n)W_n + 2\sqrt{m_n m_\alpha W_\alpha}\sqrt{W_n} + (m_H Q - (m_H+m_\alpha)W_\alpha) = 0$

Для вычисления коэффициентов можно использовать приближенные значения масс, равные их массовым числам в а.е.м.: $m_n \approx 1$, $m_\alpha \approx 4$, $m_H \approx 3$.

Подставим числовые значения ($\text{W}$ в МэВ):

$(3 - 1)W_n + 2\sqrt{1 \cdot 4 \cdot 3.0}\sqrt{W_n} + (3 \cdot 4.783 - (3+4) \cdot 3.0) = 0$

$2W_n + 2\sqrt{12}\sqrt{W_n} + (14.349 - 21) = 0$

$2W_n + 4\sqrt{3}\sqrt{W_n} - 6.651 = 0$

$2W_n + 6.928\sqrt{W_n} - 6.651 = 0$

Сделаем замену $x = \sqrt{W_n}$. Получим квадратное уравнение:

$2x^2 + 6.928x - 6.651 = 0$

Решим его:

$D = b^2 - 4ac = (6.928)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6.651) \approx 48.0 + 53.208 = 101.208$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6.928 \pm \sqrt{101.208}}{4} \approx \frac{-6.928 \pm 10.06}{4}$

Поскольку $x = \sqrt{W_n}$ должен быть положительным, выбираем корень со знаком плюс:

$x = \frac{-6.928 + 10.06}{4} = \frac{3.132}{4} \approx 0.783$

Теперь найдем искомую кинетическую энергию нейтрона:

$W_n = x^2 = (0.783)^2 \approx 0.613 \text{ МэВ}$

Ответ: $W_n \approx 0.61 \text{ МэВ}$.